\chapter{二次函数}

\section{二次函数}
\subsection{函数的奇偶性}

在研究二次函数之前，我们先来研究函数的一个性
质——函数的奇偶性．

我们先来描绘$y=x^2$的图象．

先作出下面的数值表：

\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
    \hline
    $x$   &$\cdots$&   $-2$   &   $-1.6$   &   $-1$   &   $-0.5$   &   $0$   &   $0.5$   &   $1$   &   $1.5$   &   $2$   &   $\cdots$      \\
    \hline
       $y$  &$\cdots$ &   $4$   &   $2.25$   &   $1$   &   $0.25$   &   $0$   &   $0.25$   &   $1$   &   $2.25$   &   $4$   &   $\cdots$\\
       \hline
\end{tabular}
\end{center}

用表里各组对应值作为点的坐标，作出各个点，然后用
平滑的曲线把它们连结起来，就得出$y=x^2$的图象（图5.1），
这个图象叫做抛物线．函数$y=x^2$的图象，以后简称为抛物线
$y=x^2$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
\draw[->](-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
\draw[->](0,-1)--(0,5)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x, 0.1);
}
\foreach \x in {1,2,...,4}
{
    \draw (0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x);
}

\draw[domain=-2:2, samples=100, very thick] plot(\x,{\x*\x});

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


从上面表格中可以看到这个函数有一个特点：当自变量
取绝对值相等而符号相反的两个值时（如$x$取1.5和$-1.5$），
它们对应的函数值相等（$y$都取2.25），这说明$y$轴垂直平分以
点$(x,f(x))$, $(-x,f(-x))$为端点的线段，换句话说，点
$(x,f(x))$, $(-x,f(x))$是关于$y$轴对称的，因此抛物线$y=x^2$
是关于$y$轴对称的．

我们把具有这种特征
的函数叫做偶函数．$f(x)$
是偶函数的标志是：当自
变量$x$取一对互为相反
数的值时，函数的值不
变，就有$f(x)=f(-x)$．

一般地说，对于函数
$f(x)$, 设$x$和$-x$都属于函
数的定义域，如果
\[f(-x)=f(x)\]
那么函数$f(x)$叫做\textbf{偶函数}，偶函数的图象关于$y$轴对称．

我们再来画函数$y=\frac{1}{8}x^3$的图象

先作出下面的数值表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
    \hline
    $x$ &$\cdots$&$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2&3&4&$\cdots$\\
\hline
$y$ &$\cdots$&$-8$&$-3\tfrac{3}{8}$&$-1$&$-\tfrac{1}{8}$&0&$\tfrac{1}{8}$&1&$3\tfrac{3}{8}$&8&$\cdots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

根据表里这些对应值，作出函数$y=x^3$的图象如图
5.2．这个图象称为立方抛物线．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.5]
\draw[->](-5,0)--(5,0)node[right]{$x$};
\draw[->](0,-9)--(0,9)node[right]{$y$};
\foreach \x in {1,2,3,4}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x, 0.1);
}
\foreach \x in {-2,-4}
{
    \draw (\x,0)node[above]{$\x$}--(\x, -0.1);
}
\foreach \x in {-8,-6,...,-2,2,4,...,8}
{
    \draw (0,\x)node[left]{$\x$}--(0.1,\x);
}
\node at (-.5,-.5){$O$};
\draw[domain=-4:4, samples=100, very thick] plot(\x,{\x*\x*\x/8});

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

从上面表格中可以看到这个函数也有一个特征：因为，
$\frac{1}{8}(-x)^3=-\frac{1}{8}x^3$, 所以当自变量取两个互为相反数的值时，
对应的函数值也是互为相反数．所以如果点$(x,f(x))$在函
数的图象上，那么必有另一点$(-x,-f(x))$也在函数的图象
上，而原点恰是以$(x,f(x))$, $(-x,-f(x))$为端点的线段
的中点，换句话说，点$(x,f(x))$, $(-x,-f(x))$是关于原
点对称的．因此立方抛物线
$y=\frac{1}{8}x^3$是关于原点对称的，我
们把具有这种特征的函数叫做
奇函数，$f(x)$是奇函数的标志
是：当自变量$x$取一对互为相
反数的值时，函数的值也是
互为相反数，就是$f(-x)=-f(x)$．

一般地说，对于函数$f(x)$, 设$x$与$-x$都属于函数的定义
域，如果$$f(-x)=-f(x)$$ 那么函数$f(x)$叫做\textbf{奇函数}．奇函数的图象关于原点对称．

考虑一个函数是偶函数、奇函数，或者既不是偶函数又
不是奇函数，叫做研究函数的奇偶性，对于一个奇函数或者
偶函数，要了解它的性质和图象，只要了解当自变量取正
值时的性质和图象就可以了．例如，要作函数$y=\frac{1}{8}x^3$的图
象，因为它是奇函数，所以只要作出自变量取正值时的函数
图象，就可以利用奇函数的图象必定关于原点对称这一特点，
作出自变量取负值时的图象．

\begin{example}
研究下列函数的奇偶性：
\[f(x)=x^4+x^2,\qquad f(x)=x^3+x,\qquad f(x)=x+1\]   
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 对于$f(x)=x^4+x^2$, 我们有：
    \[f(-x)=(-x)^4+(-x)^2=x^4+x^2=f(x)\]
    $\therefore\quad $函数$f(x)=x^4+x^2$是偶函数．
    \item 对于$f(x)=x^3+x$, 我们有：
    \[f(-x)=(-x)^3+(-x)=-(x^3+x)=-f(x)\]
    $\therefore\quad $函数$f(x)=x^3+x$是奇函数．
    \item 对于$f(x)=x+1$, 我们有：
    \[f(-x)=-x+1\]
    这里$f(-x)\ne f(x)$, 并且$f(-x)\ne -f(x)$, 所以函数$f(x)=
x+1$既不是偶函数又不是奇函数．
\end{enumerate} 
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item  研究下面函数的奇偶性：（其中$k,b$是常数）
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=kx\quad (k\ne 0)$
    \item $y=\frac{k}{x}\quad (k\ne 0)$
    \item $y=kx+b\quad (k\ne 0)$
    \item $y=\sqrt{1+x^2}$
    \item $y=|x|$
    \item $y=\sqrt[3]{x}$
    \item $y=\sqrt{x}+1$
    \item $y=x^2+x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 证明：
\begin{enumerate}
    \item 两个偶函数的和是偶函数；
    \item 两个奇函数的和是奇函数；
    \item 两个偶函数的乘积是偶函数，
    \item 两个奇函数的乘积是偶函数；
    \item 偶函数与奇函数的乘积是奇函数．
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{函数$y=ax^2\; (a\ne 0)$的图象和性质}
在上一章里，我们研究了$x$的一次函数$y=ax+b$, 现在
我们要研究另一类重要的函数，这类函数的解析式是$x$的二
次式，我们把它叫做$x$的二次函数．

先看几个实例：

\begin{example}
    一石块离地面高为$h$, 设其速度为零，自由地落
到地面，运动的时间为$t$, 如果不考虑空气的阻力，于是$h$与
$t$之间将有函数关系：
\begin{equation}
 h=\frac{1}{2}gt^2   
\end{equation}
这里$g$是重力加速度．
\end{example}

\begin{example}
    农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月
的产量为$y$（台），与月平均增长
率之间的关系是：$y=50(1+x)^2$，即：
\begin{equation}
  y=50x^2+100x+50  
\end{equation}
\end{example}

\begin{example}
    设在半径是20厘米的
圆面上，从中心挖去一个半径为$x$厘米的圆面（图5.3），剩下的圆
环面积是$y$平方厘米，那么变量$y$和$x$间有下面的函数关系：
\begin{equation}
    y=400\pi-\pi x^2
\end{equation}
\end{example}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
 \draw [pattern=north east lines] (0,0) circle (1.5);
    \draw (0,0)[fill=white] circle (1);
\draw[->] (0,0)node[below]{$O$}--node[left]{$x$}(45:1);
\draw (0,0) -- (15:1.5);
\end{tikzpicture}    
    \caption{}
\end{figure}

从上面这些例子可以看出，它们有一个共同特点，那就
是每一个函数关系中，等号右边都是自变量的二次式．这些
函数都可以用
\begin{equation}
    y=ax^2+bx+c
\end{equation}
来表示，这里$a$是不等于零的实数，$b,c$是任意实数．

我们把函数$y=ax^2+bx+c\; (a\ne 0)$叫做$x$的二次函数．
下面我们先从最简单的情况开始研究，即研究在(5.4)中
取$b=0,c=0$的二次函数$y=ax^2\; (a\ne 0)$．

先来看$a>0$的情形．

我们已经在上一节和第三章中画过$y=x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$的图
象，现在把这两个图象和$y=2x^2$的图象都画在同一个坐标系
里．

先作下面的表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccc}
    \hline
$x$ &$\cdots$ & $-2$  & $-\tfrac{3}{2}$  & $-1$   & 0   & 1&$\tfrac{3}{2}$& 2&$\cdots$\\
\hline
$y=2x^2$ &$\cdots$ & 8&$\tfrac{9}{2}$ &2  & 0   & 2&$\tfrac{9}{2}$ &8&$\cdots$\\
$y=x^2$ &$\cdots$ & 4&$\tfrac{9}{4}$&1  & 0   & 1&$\tfrac{9}{4}$&4&$\cdots$\\
$y=\tfrac{1}{2}x^2$ &$\cdots$ & $\tfrac{9}{8}$&$\tfrac{1}{2}$  & 0   & $\tfrac{1}{2}$  & $\tfrac{9}{8}$&2&$\cdots$\\
\hline
\end{tabular}    
\end{center}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
    \draw [->] (0,-1)--(0,8)node[right]{$y$};
\foreach \y in {1,2,...,7}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\foreach \x/\xtext in {-4/-2,-3/-\frac{3}{2},-2/-1,-1/-\frac{1}{2},1/\frac{1}{2},2/1,3/\frac{3}{2},4/2}
{
    \draw (\x/2,0)node[below]{$\xtext$}--(\x/2,.1);
}

\draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x,{\x*\x*0.5});
\draw [domain=-2.2:2.2, samples=100, very thick]plot(\x,{\x*\x});
\draw [domain=-2:2, samples=100, very thick]plot(\x,{\x*\x*2});
\node at (-.25,.25){$O$};
\foreach \x in {.5,1,...,2}
{
    \draw[dashed] (\x,0)--(\x,2*\x*\x);
}
\node at (2,8)[right]{$y=2x^2$};
\node at (2.5,5)[above]{$y=x^2$};
\node at (3,4.5)[right]{$y=\frac{1}{2}x^2$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

从这个表可以看到，对于同一个$x$值，函数$y=2x^2$所对应
的值是函数$y=x^2$所对应的值的2倍．所以要画出函数$y=2x^2$
的图象，可以用$y=x^2$的图象为基础．

除了让这图象上的原点不动外，其它每一点的纵坐标都
拉长到原来的2倍，这样得到的新的点集就是$y=2x^2$的图象．
作图时我们只描出图象上几个关于$y$轴对称的点，如上表所
示，然后用平滑的曲线把它们连接起来．

同理，要作出函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，也可以用$y=x^2$的图
象为基础．除了让$y=x^2$的图象上的原点不动外，其它每一点
的纵标都压缩到原来的$\frac{1}{2}$，便得到$y=\frac{1}{2}x^2$的图象．作图时
我们只描出图象上关于$y$轴对称的点，如上表所示，然后用
平滑曲线把它们连接起来．这样，就得到这三个函数的图象如图5.4．

再来看$a<0$的情形：

例如，我们要画函数$y=-x^2$的图象，也可以在函数$y=x^2$
的图象的基础上来研究．

作下面的表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccc}
    \hline
$x$ &$\cdots$ & $-2$  & $-\tfrac{3}{2}$  & $-1$   & 0   & 1&$\tfrac{3}{2}$& 2&$\cdots$\\
\hline
$y=x^2$ &$\cdots$ & 4&$\tfrac{9}{4}$&1  & 0   & 1&$\tfrac{9}{4}$&4&$\cdots$\\
$y=-x^2$ &$\cdots$ & $-4$&$-\tfrac{9}{4}$&$-1$  & 0   & $-1$&$-\tfrac{9}{4}$&$-4$&$\cdots$\\
\hline
\end{tabular}    
\end{center}

从这个表可以看到，对于同一个$x$值，函数$y=-x^2$所对
应的值，恰巧是函数$y=x^2$所对应的值的相反数，当$x$遍取一
切实数值时，把函数$y=x^2$图象上的每一点纵坐标改为它的
相反数就得到函数$y=-x^2$的图象上的点，而以$(x,-x^2)$和
$(x,x^2)$为坐标的点是关于$x$轴的对称点，因此把图象$y=x^2$沿
$x$轴折转过来就可以得到$y=-x^2$的图象．$y=-x^2$的图象是在
$x$轴下方，开口向下（图5.5）．

同样，从函数$y=2x^2$和$y=4x^2$的图象可得出函数$y=
-2x^2$和$y=-4x^2$的图象（图5.6）．这些图象在x轴下方，开
口向下．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
      \draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$};
    \draw [->] (0,-8.5)--(0,8.5)node[right]{$y$};

\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2);
}

\draw [domain=-2.7:2.7, samples=100, dashed, very thick]plot(\x,{\x*\x});
\draw [domain=-2.7:2.7, samples=100, very thick]plot(\x,{-\x*\x});
\node at (.4,-.4){$O$};
\node at (2.5,6.25)[right]{$y=x^2$};
\node at (2.5,-6.25)[right]{$y=-x^2$}; 
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
\draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$};
    \draw [->] (0,-8)--(0,8)node[right]{$y$};
\foreach \y in {-8,-7,...,-1,1,2,...,7}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2);
}

\draw [domain=-3:3, samples=100, very thick, dashed]plot(\x,{\x*\x*0.5});
\draw [domain=-2:2, samples=100, very thick, dashed]plot(\x,{\x*\x*2});

\draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x,{-\x*\x*0.5});
\draw [domain=-2:2, samples=100, very thick]plot(\x,{-\x*\x*2});
\node at (-.4,.4){$O$};
\node at (2,8)[right]{$y=2x^2$};
\node at (3,4.5)[right]{$y=\frac{1}{2}x^2$};
\node at (2,-8)[right]{$y=-2x^2$};
\node at (3,-4.5)[right]{$y=-\frac{1}{2}x^2$};      
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

总结上面这两种情况，我们知道函数$y=ax^2$的图象是一
条抛物线．

从图象上我们能看到二次函数$y=ax^2$的下面一些性质：

\begin{blk}{性质1}
抛物线$y=ax^2$可向$x$轴左右方向无限延伸．这就是说
函数$y=ax^2$的定义域为实数集$\mathbb{R}$.
\end{blk}

\begin{blk}{性质2}
抛物线$y=ax^2$在$a>0$时，在$x$轴上方且在$y$轴的左
右两侧同时向上无限延伸，这就是说函数$y=ax^2$在$a>0$时，
函数值域为非负实数，即$\mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$; 在$a<0$时，抛物线
$y=ax^2$在$x$轴下方且在y轴两侧同时向下无限延伸，这就是说
函数$y=ax^2$在$a<0$时，函数值域为非正实数，即$\mathbb{R}^{-}\cup \{0\}$.
\end{blk}

\begin{blk}{性质3}
抛物线$y=ax^2$在$a>0$时开口向上，在$a<0$时开口
向下，且$|a|$越大开口就越小．
\end{blk}

\begin{blk}{性质4}
抛物线$y=ax^2$关于$y$轴对称，这就是说函数$y=ax^2$是
个偶函数，事实上这个性质是可以证明的，即由于$f(-x)=
a(-x)^2=ax^2=f(x)$, 故函数$y=ax^2$是个偶函数．我们把$y$轴称
为抛物线$y=ax^2$的对称轴，其方程是$x=0$．
\end{blk}

\begin{blk}{性质5}
抛物线$y=ax^2$当$a>0$时，图象在$(-\infty,0)$是下
降的，在$(0,+\infty)$是上升的．这就是说函数$y=ax^2$当$a>0$
时，在$(-\infty,0)$是递减的；在$(0,+\infty)$是递增的（图5.7）．

抛物线$y=ax^2$当$a<0$时，图象在$(-\infty,0)$是上升的，
在$(0,+\infty)$是下降的，这就是说函数$y=ax^2$当$a<0$时，
在$(-\infty,0)$是递增的；在$(0,+\infty)$是递减的（图5.8）．
\end{blk}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
    \draw[->] (-3.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$};
    \draw [->] (0,-1)--(0,5)node[right]{$y$};
    \draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x,{\x*\x*0.5});
    \node at (2.5,4.5)[above]{$y=ax^2,\; (a>0)$};
    \node at (.3,-.3){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
        \draw[->]  (-3.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$};
        \draw [->] (0,-5)--(0,1)node[right]{$y$};
        \draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x,{-\x*\x*0.5});    
    \node at (2.5,-4.5)[below]{$y=ax^2,\; (a<0)$};
    \node at (-.3,.3){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

事实上，这个性质是可以证明的，我们只证$a>0$的情
况，$a<0$的情况留给同学们自己证明．

证明：函数 $y=ax^2$当$a>0$时，在$(-\infty,0)$是递减的，在$(0,+\infty)$是递增的．

\begin{proof}
\begin{enumerate}
    \item 设$x_1,x_2\in(-\infty,0)$且$x_1<x_2$，则
    \[\begin{split}
        f(x_2)-f(x_1)&=ax^2_2-ax^2_1=a(x^2_2-x^2_1)\\
&=a(x_2-x_1)(x_2+x_1)
    \end{split}\]
$\because \quad x_1,x_2\in(-\infty,0)$，$\therefore\quad x_1<0,\; x_2<0$

$\therefore\quad x_1+x_2<0$，又$a>0$，$x_2-x_1>0$

$\therefore\quad a(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0$，则$f(x_2)<f(x_1)$

$\therefore\quad f(x)$在$(-\infty,0)$上递减．

    \item 设$x_1,x_2\in(0,+\infty)$且$x_1<x_2$，则
    \[f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0\]
    $\therefore\quad f(x_1)<f(x_2)$

$\therefore\quad f(x)$在$(0,+\infty)$上递增．
\end{enumerate} 

这样，在$a>0$的情况下，函数$y=ax^2$在$(-\infty,0)$上递减，而在$(0,+\infty)$上递增．
\end{proof}

\begin{blk}{性质6}
对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点．抛物线$y=ax^2$的顶点是原点$(0,0)$．这就是说，
有序数对$(0,0)$适合关系$y=ax^2$．
\end{blk}

\begin{blk}{性质7}
    抛物线$y=ax^2$的顶点的特点是：曲线由下降通过它转变到上升$(a>0)$，或者曲线由上升通过它转变到下降的一点$(a<0)$，相应地函数$f(x)=ax^2$（$a>0$或$a<0$），在顶点横坐标$x_0=0$的左邻递减（递增），但是在$x_0=0$的右邻改为递增（递减），$x_0=0$是$f(x)=ax^2$在点$x_0=0$的邻近取极小
    （大）值的一点，我们称点$x_0=0$是$f(x)=ax^2$的一个极小（大）
    点，$f(0)=0$叫做$f(x)=ax^2$在极小（大）点$x_0=0$的极小（大）值．
\end{blk}



    在这里需要明确的是，极值都是函数由递增转到递减，或
    由递减转到递增的那一点取得的，而函数的最大值或最小
    值，仅仅指的是函数值的最大或最小，并不要求由递增到递
    减或由递减到递增的转变条件．

    由性质5知道，二次函数$y=ax^2$,仅有一个极值点$x_0=0$,
    在这种情形下，二次函数在点$x_0=0$的极值$f(0)=0$,与它
    的最大值或最小值是一致的．事实上，当$a>0$时，$y=ax^2$对
    于一切$x\in(-\infty,+\infty)$, 都有$f(x)=ax^2\ge 0$, 所以$f(0)=0$
    是最小值；当$a<0$时，$y=ax^2$对于一切$x\in(-\infty,+\infty)$, 都
    有$f(x)=ax^2\le 0$, 所以$f(0)=0$是最大值．对于二次函数，我
    们常用实数平方不小零这个原理来求一般二次函数的极值
    点和极值（也是二次函数的最值）．

从以上讨论可以看到，对抛物线$y=ax^2$主要要掌握三件
东西：对称轴、顶点、开口方向，即$a$的正负．而
这三件东西又都和二次函数的极值点、极值有关，顶点的坐
标确定后，对称轴方程和极值点也就随之求出，故顶点位置
是个关键．

最后我们要指出，上面我们是由抛物线$y=ax^2$的特点来
看二次函数$y=ax^2$的性质的，但今后等我们逐步地学到了更
多的函数性质后，我们应该有意识地学会先研究函数的性
质，再由函数的性质去把握函数图象的大致形状，最后用描
点法画出图象，这时所画的函数图象就较为精确了．


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 设从固定的半径$R$的圆板上，挖掉半径为$r$的同心圆板，
    问所剩圆环面积$S$与$r$之间的关系是什么？
    \item 用16m长的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，如
    果与墙垂直的一边长是$x$m，面积是$y{\rm m}^2$, 则$x$与$y$之间
    有什么关系？
    \item     用一块矩形空地来做花圃，这块地长20m，宽15m，
    如在四周留出宽度都是$x$米的小路，中间余下种花的空
地面积是$y{\rm m}^2$, 则$y$与$x$之间有什么关系？
\item  汽车在前8秒钟内以匀加速度$a=0.8{\rm m/s}^2$行驶．
\begin{enumerate}
\item 利用公式$s=\frac{1}{2}at^2$, 求$t=3$(s)，$t=5.5$(s), $t=2.5$(s) 时所行的路程$s$(m)；
\item 画出$s$和$t$之间函数关系的图象；
\item 根据图象，求汽车走5m、10m、15m所需时间．
\end{enumerate}

\item  
在坐标纸上画出函数$y=x^2$图象：
\begin{enumerate}
\item 根据图象，求当$x=1.5$; $x=2.3$; $x=-1.4$时，$y$
的值（精确到0.1）；
\item 根据图象，求当$y=2$; $y=3$; $y=4.5$时，对应
的$x$的值（精确到0.1）；
\item 利用图象求$\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$的值（精确到0.1）．
\end{enumerate}

\item   在同一坐标系里作以下函数的图象：
$$y=3x^2,\qquad y=3x^2,\qquad y=-3x^2,\qquad y=-\frac{1}{3}x^2$$
这些图象有哪些相同的地方？哪些不同的地方？
\item  试证当$a<0$时，二次函数$y=ax^2$在$(-\infty,0)$上递增，
而在$(0,+\infty)$上递减．
\item   证明抛物线$y=ax^2$与抛物线$y=x^2$是位似形．
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{函数$y=ax^2+bx+c\; (a\ne 0)$的图象}
\subsubsection{函数$y=ax^2+c\; (a\ne 0)$的图象}
为确定起见，假设$c>0$, 从解析式$y=ax^2+c$和$y=ax^2$
明显地看出，对于自变量的相同值，$y=ax^2+c$的对应值，
总可以由$y=ax^2$的对应值加上$c$得到，这表示$y=ax^2+c$的图
象上的一切点比抛物线$y=ax^2$上具有相同横坐标的点高出$c$
个单位．因此，$y=ax^2+c$的图象，可以由抛物线$y=ax^2$沿着$y$
轴向上平移$c$个单位得到．如果$c<0$, 那么$y=ax^2+c$的图象是
由抛物线$y=ax^2$, 沿着$y$轴向下平移$|c|$个单位得到．

例如，我们把函数$y=2x^2$的图象向上移动1个单位，就
可以得到函数$y=2x^2+1$的图象；向下移动3个单位，就可
以得到函数$y=2x^2-3$的图象．

所以函数$y=ax^2+c$的图象仍旧是一条抛物线．当$a>0$时，
开口向上；$a<0$时，开口向下，对称轴方程是$x=0$（$y$轴为
对称轴）；顶点坐标是$(0,c)$． 当$a>0$时，在$x=0$处取得
$y_{\min}=c$．当$a<0$时，在$x=0$处取得$y_{\max}=c$（注：以后我们用
$y_{\min}$表示$y$的极小值；用$y_{\max}$表示$y$的极大值）．

我们从图形的平移观点确定了$y=kx+b$的图象是一条平
行于直线$y=kx$的直线，也确定了$y=ax^2+c$的图象是抛物线，
它的顶点是$(0,c)$．更一般的结论是：

函数$y=f(x)+b$的图象是由$y=f(x)$的图象沿$y$轴平移而
来的，若$b>0$, 则向上平移$b$个单位．若$b<0$, 则向下平移
$|b|$个单位．

\subsubsection{函数$y=a(x+m)^2$的图象}
例如函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$, $y=\frac{1}{4}(x-2)^2$都是这种类型
的函数．

我们把上面两个函数的图象与$y=\frac{1}{4}x^2$比较．分别列表如下：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\hline
    $x$ & $-5$& $-4$& $-3$& $-2$& $-1$& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
\hline
$y=\tfrac{1}{4}x^2$ &  $6\tfrac{1}{4}$   &  $4$  &  $2\tfrac{1}{4}$  &  $1$  &  $\tfrac{1}{4}$  &  $0$  &  $\tfrac{1}{4}$  &  $1$ & $2\tfrac{1}{4}$ &4&$6\tfrac{1}{4}$\\
$y=\tfrac{1}{4}(x+2)^2$& $2\tfrac{1}{4}$ &  $1$  &  $\tfrac{1}{4}$  & 0& $\tfrac{1}{4}$  & 1& $2\tfrac{1}{4}$ &4 &  $6\tfrac{1}{4}$  & 9& $12\tfrac{1}{4}$\\ 
$y=\tfrac{1}{4}(x-2)^2$& $12\tfrac{1}{4}$ &  $9$  &  $6\tfrac{1}{4}$  &  $4$  &  $2\tfrac{1}{4}$  &  $1$  &  $\tfrac{1}{4}$  &  $0$  &  $\tfrac{1}{4}$   &1 &  $2\tfrac{1}{4}$\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
\draw[->] (-7,0)--(7,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1)--(0,9)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-5,-4,...,-1,1,2,...,5}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2);
}
\node at (.3,-.3){$O$};

\draw [domain=-5:5, samples=100, thick] plot(\x,{0.25*\x*\x});
\draw [domain=-7:3, samples=100, very thick] plot(\x,{0.25*(\x+2)*(\x+2)});
\draw (-2,-1)--(-2,8)node[above]{$x=-2$};
\node at (5,6.25)[right]{$y=\frac{1}{4}x^2$};
\node at (3,6.25)[above]{$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

从表中可以看出，函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$在自变量取某一值
$x=x_1$时，所对应的函数值$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$, 恰巧和函数$y=\frac{1}{4}x^2$在自变量取值$x=x_1+2$时所对应的函数值$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$
相同．这就告诉我们，在函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$的图象上的点
$\left(x_1,\frac{1}{4}(x_1+2)^2\right)$与函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上的点$\left(x_1+2,\frac{1}{4}(x_1+2)^2\right)$的纵坐标相等，因此这两点的连接线段平行$x$轴，
并且横坐标是$x_1$的点在横坐标是$x_1+2$的点的右边2个单位
处，利用这个关系，我们只需把函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上的每一
点向左平移2个单位，就可以得到函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$的图象
（图5.9）．


同样，函数$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$在自变量取某一值$x$时，所对
应的函数值$y=\frac{1}{4}(x_1-2)^2$, 恰巧和函数$y=\frac{1}{4}x^2$在自变量取
值$x=x_1-2$时，所对应的函数值$y=\frac{1}{4}(x_1-2)^2$相同，这就
告诉我们，在函数$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$的图象上，横坐标是$x_1$的
点的纵坐标就等于函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上横坐标是$x_1-2$的
点的纵坐标．利用这个关系，我们只需把函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象
上的每一点向右平移2个单位，就可以得到函数$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$的图象（图
5.10）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
\draw[->] (-5,0)--(9,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1)--(0,9)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-4,-3,...,-1,1,2,...,7}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2);
}
\node at (.3,-.3){$O$};
\draw [domain=-5:5, samples=100, thick] plot(\x,{0.25*\x*\x});
\draw [domain=-3:7, samples=100, very thick] plot(\x,{0.25*(\x-2)*(\x-2)});
\draw (2,-1)--(2,8)node[above]{$x=2$};
\node at (5,6.25)[above]{$y=\frac{1}{4}x^2$};
\node at (7,6.25)[right]{$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


由此可见，函数$y=a(x+m)^2$的
图象，由函数$y=ax^2$的图象沿$x$轴方向左右平移得到．
当$m>0$时，向左平移$m$个单位；当$m<0$时，向右平
移$|m|$个单位．

因此函数$y=a(x+m)^2$的图象，仍然是一条抛物线，$a>0$
时，开口向上；$a<0$时，开口向下，对称轴方程是$x=-m$,
顶点坐标是$(-m,0)$. 当$a>0$时，在$x=-m$处取得$y_{\min}=0$, 当$a<0$时，在$x=-m$处取得$y_{\max}=0$．

应当指出：
\begin{enumerate}
    \item 上述的平移原理可以推广到一般情形．即函数$f(x+m)$的图象，是由函数$f(x)$的图象沿$x$轴方向左右平移得到．当
    $m>0$时，向左平移$m$个单位；当$m<0$时，向右平移$|m|$个单位．
    \item 具体作函数$y=a(x+m)^2$的图象时，不必先作出
    $y=ax^2\; (a\ne 0)$的图象，再作相应的平移得到它，而是先确
    定抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点和对称轴，从顶点开始，左右
    取对称的点，再用平滑曲线去连接．
\end{enumerate}

\begin{example}
    作函数$y=2\left(x+2\frac{1}{2}\right)^2$的图象．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 顶点坐标$\left(-2\frac{1}{2},0\right)$, 对称方程$x=-2\frac{1}{2}$,
    $a=2>0$, 开口向上．
    \item 列表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\hline
$x$&$\cdots$& $-4\tfrac{1}{2}$ &  $-4$ &  $-3\tfrac{1}{2}$ &  $-3$ &  $-2\tfrac{1}{2}$ &  $-2$ &  $-1\tfrac{1}{2}$ &  $-1$ &  $-\tfrac{1}{2}$ &$\cdots$\\
\hline
$y$&$\cdots$ & $8$& $4\tfrac{1}{2}$ &  $2$ &  $\tfrac{1}{2}$ &  $0$ &  $\tfrac{1}{2}$ &  $2$ &  $4\tfrac{1}{2}$ &  $8$ &  $\cdots$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item 完成图象如图5.11.
\end{enumerate}      

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
\draw[->] (-6,0)--(2,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1)--(0,9)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-5,-4,...,-1}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\foreach \y in {1,2,...,8}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\node at (.5,-.5){$O$};
\draw [domain=-4.5:-.5, samples=100, very thick]plot(\x, {2*(\x+2.5)*(\x+2.5)});
\draw[dashed](-2.5,-1)--(-2.5,8)node[above]{$x=-2\frac{1}{2}$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}


\subsubsection{函数$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2-3$的图象}

函数$y=a(x+m)^2+k$的图象，是由函数$y=a(x+m)^2$的图象
沿$y$轴方向上下平移得
到．当$k>0$时，向上平移$k$个
单位；当$k<0$时，向下平移
$|k|$个单位．而$y=a(x+m)^2$的
图象，是由$y=ax^2$的图象沿$x$轴
方向左右平移得到．当$m>0$
时，向左平移$m$个单位；当$m<0$时，向右平移$|m|$个单位，
故函数$y=a(x+m)^2+k$的图象，是由函数$y=ax^2$的图象经上
下左右平移得到．

由此可见，函数$y=a(x+m)^2+k$的图象，也是一条抛
物线，当$a>0$时，开口向上，当$a<0$时，开口向下．对称轴
方程是$x=-m$, 顶点坐标是$(-m,k)$. 当$a>0$时，在$x=
-m$处取得$y_{\min}=k$，当$a<0$时，在$x=-m$处取得$y_{\max}=k$．

\begin{example}
    研究函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2+3$的图象．
\end{example}

\begin{solution}
函数$y=\frac{1}{4}(x+2)^2+3$的图象，就是抛物线
$y=\frac{1}{4}(x+2)^2$向上平移3个单位，也就是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$向
左平移2个单位后，再向上平移3个单位．这条抛物线对你
轴方程是$x=-2$，开口向上，顶点坐标是$(-2,3)$. 在$x=-2$时，取得$y=3$．

\textbf{另解：}$\because\quad (x+2)^2\ge 0$

$\therefore\quad y=\frac{1}{4}(x+2)^2+3\ge 3$, 等式在$x=-2$时
成立，即在$x=-2$时，$y_{\min}=3$

由此得知抛物线$y=\frac{1}{4}(x+2)^2+3$的顶点是$(-2,3)$. 
对称轴方程是$x=-2$，它可以由抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$向左平移2
个单位，再向上平移3个单位得来．
\end{solution}


\begin{example}
    作函数$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2-3$的图象．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 函数$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2-3$的图象是抛物线．由
    $a=-\frac{1}{4}<0$知抛物线开口向下，顶点坐标是$(2,-3)$对称轴
    方程是$x=2$．
  \item 列表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\hline
$x$&$\cdots$& $-2$ &  $-1$ & 0 &  1 & 2 &  3 &  4 &  5 &  6 &$\cdots$\\
\hline
$y$&$\cdots$ & $-7$& $-5\tfrac{1}{4}$ &  $-4$ &  $-3\tfrac{1}{4}$ &  $-3$ &  $-3\tfrac{1}{4}$ &  $-4$ &  $-5\tfrac{1}{4}$ &  $-7$ &  $\cdots$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}  

\item 作图如图5.12．
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
\draw[->] (-3,0)--(7,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-8)--(0,1)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-2,-1,1,2,...,6}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\foreach \y in {-1,-2,...,-7}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\node at (.5,-.5){$O$};
\draw [domain=-2:6, samples=100, very thick]plot(\x, {-.25*(\x-2)*(\x-2)-3});
\draw[dashed](2,1)--(2,-8)node[right]{$x=2$};
\node at (5,-2){$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2-3$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}


\begin{example}
    平移抛物线$y=ax^2$使顶点在$(2,4)$且$y$截距等于$-8$．
\end{example}

\begin{solution}
    平移抛物线$y=ax^2$使顶点在$(2,4)$, 因此新抛物线的方程是：
   \[ y=a(x-2)^2+4\]
    又$y$截距等于$-8$, 即抛物线通过$(0,-8)$点，因此，
\[\begin{split}
    -8&=a(0-2)^2+4\\
4a&=-12\\
a&=-3
\end{split}\]
所求抛物线方程是 $y=-3(x-2)^2+4$．
\end{solution}

\subsubsection{函数$y=ax^2+bx+c$的图象}
现在我们来研究函数$y=ax^2+bx+c$的图象．
因为
\[\begin{split}
ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\
&=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c-\frac{b^2}{4a}\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
\end{split}\]    
所以函数$y=ax^2+bx+c$可以化成$y=a(x+m)^2+k$的形式，这里$m=\frac{b}{2a}$, $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$．

由此可知，函数$y=ax^2+bx+c$的图象和函数$y=ax^2$的
图象完全相同，只是位置不同，它们都是抛物线．

抛物线$y=ax^2+bx+c$, 对称轴方程是
$x=-\frac{b}{2a}$，
顶点坐标是$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$．
\begin{itemize}
    \item 当$a>0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向上，在
$x=-\frac{b}{2a}$处取得$y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
\item 当$a<0$时，函数开口向下，在$x=-\frac{b}{2a}$处取得$y_{\max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$．
\end{itemize}

\begin{example}
    指出下面抛物线的开口
方向，顶点坐标和对称轴方程，
并画出图象：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=2x^2+8x+5$
    \item $y=-x^2+2x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 配方：
\[\begin{split}
    y=2x^2+8x+5&=2(x^2+4x)+5\\
    &=2(x^2+4x+4)+5-8\\
    &=2(x+2)^2-3
\end{split}\]

性质：$\because\quad a=2>0$

$\therefore\quad $
抛物线开口向上，顶点坐标是$(-2,-3)$, 对称轴方程是$x=-2$．

作图象：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\hline
$x$&$\cdots$& $-4$ &  $-3\tfrac{1}{2}$ & $-3$ &  $-2\tfrac{1}{2}$ & $-2$ &  $-1\tfrac{1}{2}$ &  $-1$ &  $-\tfrac{1}{2}$ &  0 &$\cdots$\\
\hline
$y$&$\cdots$ & $5$& $1\tfrac{1}{2}$ &  $-1$ &  $-2\tfrac{1}{2}$ &  $-3$ &  $-2\tfrac{1}{2}$ &  $-1$ &  $1\tfrac{1}{2}$ &  $5$ &  $\cdots$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}  
图象如图5.13．

\item 配方：
\[\begin{split}
    y=-x^2+2x+1&=-(x^2-2x-1)\\
    &=-(x^2-2x)+1\\
    &=-(x^2-2x+1)+2\\
&=-(x-1)^2+2
\end{split}\]

性质：$\because\quad a=-1<0$

$\therefore\quad $
抛物线开口向下，顶点坐标是$(1,2)$, 对称轴方程是$x=1$．

作图象：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccc}
\hline
$x$&$\cdots$& $-2$ &  $-1$ & 0 & 1 & 2 &  3 &  4 &$\cdots$\\
\hline
$y$&$\cdots$ & $-7$& $-2$ &  1 & 2 & 1 &  $-2$ &  $-7$  &  $\cdots$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}  
图象如图5.14．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
 \draw[->] (-6,0)--(1,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-4)--(0,6.5)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-4,-3,...,-1}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\foreach \y in {-1,-2,-3,1,2,...,5}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\node at (.5,-.5){$O$};   
\draw[dashed] (-2,-4)--(-2,6)node[above]{$x=-2$};
\node at (-2,-3)[below]{$(-2,-3)$};
\draw [domain=-4.1:0.1, samples=100, very thick]plot(\x, {2*(\x+2)*(\x+2)-3});
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.6]
 \draw[->] (-3,0)--(5,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-8)--(0,3)node[right]{$y$};
\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\foreach \y in {-1,-2,...,-7,1,2}
{
    \draw (0,\y)--(.1,\y)node[right]{$\y$};
}
\node at (.5,-.5){$O$};          
\draw[dashed] (1,-8)--(1,3)node[right]{$x=1$};
\draw [domain=-2:4, samples=100, very thick]plot(\x, {-(\x-1)*(\x-1)+2});
\node at (1,2)[right]{$(1,2)$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\end{enumerate}
\end{solution}


\begin{example}
\begin{enumerate}
    \item $k$为何值时，抛物线$y=x^2+2kx+1$的顶点在直线$y=x$上？
    \item 说明上述情况下的抛物线是由怎样的抛物线作怎样的平移得到的．
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{equation}
    y=x^2+2kx+1=(x+k)^2+1-k^2
\end{equation}
抛物线(5.5)的顶点坐标是$(-k,1-k)$. 顶点在直线$y=x$上
的充要条件是：
\[1-k2=-k\quad \Rightarrow\quad k^2-k-1=0\]
$\therefore\quad k=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

因此，当$k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$k=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$时，抛物线(5.5)的顶点在直
线$y=x$上，这时抛物线方程是：
\begin{equation}
y=\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{equation}
和
\begin{equation}
    \begin{split}
 y&=\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
&=\left(x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\frac{\sqrt{5}-1}{2}
    \end{split}
\end{equation}  

抛物线(5.6)是由抛物线$y=x^2$向左移$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$个
单位再向下移$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$个单位得来；抛物线(5.7)是由抛物线$y=x^2$向右移
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$个单位再向上移$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$个单位
得来．
\end{solution}

\section*{习题5.1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题5.1}

\begin{enumerate}
    \item 把下列各图象画在同一坐标系里进行比较：
\begin{enumerate}
    \item $y=x,\qquad  y=x+2,\qquad  y=x^2-2$
    \item $y=-x^2,\qquad y=-x^2+2,\qquad y=-x^2-2$
\end{enumerate}

    \item 把下列各图象画在同一坐标系里进行比较：
  \[  y=x^2,\quad     y=(x-1)^2,\quad    y=(x-2)^2,\quad     y=(x-3)^2\]
 \[   y=(x+1)^2,\quad     y=(x+2)^2,\quad     y=(x+3)^2\]
    \item 已知函数$y=2(x-3)^2$, 不作出图象而说出：
\begin{enumerate}
\item 图象的顶点，对称轴方程，开口方向；
\item 函数有没有极大值或极小值？这些值是多少？$x$等
    于什么值时，函数有这些值？
    \item $x$在什么区间时函数是递减的，递增的？
    \item $x$取什么值时函数等于零？
    \item 图象和$y$轴的交点的坐标．
\end{enumerate}

    \item 照上题那样研究$y=-3(x+5)^2$．
    \item 求把抛物线$y=2x^2$向左平移3个单位，再向上平移5个
    单位后的抛物线方程．
    \item 求把抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向右平移5个单位，再向下平移3个
    单位后的抛物线方程．
    \item 将抛物线$y=ax^2$向左平移2个单位后，再向上平移3个单
    位且知这个抛物线与$x$轴的一个交点的坐标是$(2,0)$．
    求这个抛物线方程和它与$x$轴的另一个交点的坐标．
    \item 求下列各函数的图象，并指出所求抛物线的开口方向，
    对称轴方程，顶点坐标，又当$x$为何值，二次函数取得
    什么极值：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $y=x^2+6x-3$
        \item $y=2x^2-5x+2$
        \item $y=5-x-x^2$
        \item $y=6+12x-3x^2$
        \item $y=-2x^2-5x+7$
        \item $y=3x^2+2x$
        \item $y=\frac{5}{2}x-2-3x^2$
        \item $y=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{5}{2}$
    \end{enumerate}
\end{multicols}

\item 处于静止状态的物体从40米的高处下落，计算$t$秒后物
体离地面的高度$h$米的公式是$h=40-5t^2$
\begin{enumerate}
    \item 经过两秒钟物体离地面的高度是多少？
    \item 经过多少时间物体落到地面？
    \item 求出时间$t$的取值范围．
    \item 作出$h$和$t$之间的函数关系的图象．
\end{enumerate}

\item 一石子从井口落下，经过7秒后听到碰击井底声，如果
石子下降距离$s$（米）与经过的时间$t$（秒）的关系是$s=5t^2$，
又声音在空气中的平均速度是每秒340米，求井深．
\end{enumerate}

\section{和二次函数有关的课题}
\subsection{根据已知条件确定二次函数}
在上一节里我们研究了二次函数的图象和它的性质，现
在我们进一步来研究，如何根据二次函数满足的条件来确定
这个二次函数的问题，下面我们来看几个例题：


\begin{example}
    已经知道函数$y=f(x)$是一个二次函数，并且知
道它的图象通过$A(0,1)$, $B(1,3)$, $C(-1,1)$三点，写出
这个二次函数．
\end{example}

\begin{solution}
二次函数的一般形式是
\begin{equation}
    y=ax^2+bx+c
\end{equation}
要确定这个函数，必须知道二次三项式里三个系数$a,b,c$的
值．由函数图象的定义知道，图象上的点的坐标必适合函数
关系式，现在已知$A,B,C$三点在图象上，故它们的坐标必适
合关系式(5.8), 因此可以列出关于$a,b,c$的三元一次方程
组：
\[\begin{cases}
    1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\
3=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c\\
1=a(-1)^2+b(-1)+c
\end{cases}\]
即：
\begin{equation}
    \begin{cases}
        c=1\\
a+b+c=3\\
a-b+c=1
    \end{cases}
\end{equation}
解方程组(5.9)得
\[a=1,\qquad b=1,\qquad c=1\]
所求的二次函数是
$y=x^2+x+1$．
\end{solution}
    

\begin{example}
    已知二次函数的图象与$x$轴交于$(-2,0)$和$(1,
0)$两点，又通过点$(3,-5)$, 求这个二次函数的表达式、它
的极值点和极值．
\end{example}

\begin{solution}
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于两点
$(-2,0)$, $(1,0)$的意思，是说函数值$f(-2)=0$和$f(1)=
0$．根据余式定理的推论2, $(x+2)(x-1)$必能整除$f(x)=
ax^2+bx+c$. 因此这个二次函数表达式可以写成：
\[f(x)=a(x+2)(x-1)\]
又它的图象通过点$(3,-5)$, 即$f(3)=-5$, 将$x=3$和$x=-5$
代入上式得
\[-5=a(3+2)(3-1)\]
$\therefore\quad a=-\frac{1}{2}$．

因此所求二次函数表达式是：
\begin{equation}
    \begin{split}
        f(x)&=-\frac{1}{2}(x+2)(x-1)\\
        &=-\frac{1}{2}(x^2+x-2)\\
        &=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}+1
    \end{split}
\end{equation}

因为抛物线顶点的横坐标等于对称轴与$x$轴的交点的横
坐标，设顶点横坐标是$x_0$, 于是在$x$轴上有
    \[x_0-(-2)=1-x_0\]
    即：$x_0=\frac{(-2)+1}{2}=-\frac{1}{2}$（图5.15）
代入(5.10)得顶点纵坐标：
\[y_0=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2\right)=\frac{9}{8}\]

$\because\quad a=-\frac{1}{2}<0$

$\therefore\quad $在$x_0=-\frac{1}{2}$处$y_{\max}=\frac{9}{8}$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
 \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-3)--(0,2)node[right]{$y$};
\draw[dashed] (-.5,-3)--(-.5,2);
\draw [domain=-3:2, samples=100, thick]plot(\x, {-0.5*(\x*\x+\x-2)});
\foreach \x in {-2,1}
{
    \node at (\x, 0)[below]{$\x$};
}
\node at (-.5,0)[below]{$x_0$};
\node at (.25,-.25){$O$};       
    \end{tikzpicture}

    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

\begin{rmk}
    我们在求函数的极值点与极值时没有应用前面给
出的公式，而是借助于二次函
数的图象的顶点在对称轴上．
\end{rmk}

结合图象来研究二次函数
的性质是解决问题的一个途径．

\begin{example}
    已知函数$y=ax^2+bx+c$的图象是以点$(2,3)$为
顶点的抛物线，并且这图象通过$(3,1)$, 写出这个函数．
\end{example}

\begin{solution}
\textbf{解法1：} 抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标是：$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$，根据已知条件得：
\begin{align}
    -\frac{b}{2a}&=2\\
\frac{4ac-b^2}{4a}&=3
\end{align}
另外根据抛物线通过点$(3,1)$, 又可得到一个方程：
\begin{equation}
    1=9a+3b+c
\end{equation}
把(5.11), (5.12), (5.13)联立，就可得到关于$a,b,c$的方程组：
\begin{equation}
    \begin{cases}
        -\frac{b}{2a}&=2\\
\frac{4ac-b^2}{4a}&=3\\
9a+3b+c=1
    \end{cases}
\end{equation}
解方程组(5.14), 得
\[a=-2,\qquad b=8,\qquad c=-5\]
所求的二次函数是$y=-2x^3+8x-5$．

\textbf{解法2：} 以点$(m,k)$为顶点的抛物线方程是$y=a(x-m)^2+k$．
这样根据已知条件，就可以写出所求的二次函数是
\begin{equation}
    y=a(x-2)^2+3
\end{equation}
因为点$(3,1)$在图象上，所以把$x=3$, $y=1$代入(5.15)得到
\[1=a(3-2)^2+3\]
由此得$a=-2$. 把它代入(5.15)就得
\[y=-2(x-2)^2+3=-2x^2+8x-5\]
故所求二次函数是$y=-2x^2+8x-5$．

解法2要比解法1方便些．
\end{solution}

由上面讨论可知，要确定一个二次函数需要三个独立条
件去确定系数$a,b,c$, 若条件中有顶点坐标（如例5.13），那么
这个顶点坐标算两个独立条件，这是因为顶点已知的话，所
求抛物线的位置已经确定，所剩就是确定抛物线的开口情况
（即系数$a$），故只要再有一个条件就可确定了．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item 求经过$A(0,1)$, $B(-1,1)$, $C(1,-1)$三点，且对称
    轴平行于$y$轴的抛物线，并求其顶点坐标和对称轴．
    \item 设有函数$y=x^2+px+q$, 按照下列条件，求$p$和$q$的值．
    \begin{enumerate}
 \item 在$x=2$时，$y=12$, 在$x=-3$时，$y=2$;
    \item 在$x=5$时，函数有极小值$-2$;
    \item 函数的图象和$x$轴的交点的坐标是$(-4,0)$和$(-1,
    0)$.
    \end{enumerate}
   
    \item 设有二次函数$y=ax^2+bx+c$, 按照下列条件，求出$a,b,
    c$的值，然后写出这个二次函数：
    \begin{center}
        \begin{tabular}{c|ccc}
            \hline
$x$&1&2&3\\
            \hline
$y$&0&0&4\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    函数的图象是以点$A(-1,-8)$为顶点的抛物线，
   并且和$y$轴交于点$B(0,-6)$．

    \item 抛物线$y=x^2+2ax+b$经过点$(2,4)$, 并且其顶点在
    $y-2x-1=0$上，求$a,b$．
    \item 若$f(x)$是二次函数，当$x=\frac{1}{2}$时有极大值25，又方程
    $f(x)=0$的二根平方和等于13, 求$f(x)$．
\end{enumerate} 
\end{ex}

\subsection{二次函数极值}
根据实数的平方不小于零，容易求得二次函数的极值如
下：
\[y=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\]
\begin{enumerate}
    \item 如果$a>0$, 那么$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ge 0$
\[y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\ge \frac{4ac-b^2}{4a}\]
即当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有极小值，$y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

\item 如果$a<0$, 那么$a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^2\le 0$
\[y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\le \frac{4ac-b^2}{4a}\]
即当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数有极大值，$y_{\max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$
\end{enumerate}

求二次函数的极值有着许多实际的应用，下面我们举几
个例子．

\begin{example}
    某工厂为了存放材料，需要围一个周长为160米
的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地
的面积最大？
\end{example}

\begin{solution}
    设一边为$x$m，则另一边长为$(80-x)$m，如果$y{\rm m}^2$
是矩形的面积，则
\[\begin{split}
    y=x(80-x)&=-x^2+80x,\qquad (0<x<80)\\
    &=-(x^2-80x+1600-1600)\\
    &=-(x-40)^2+1600
\end{split}\]
因此，当边长是40m的正
方形时，有最大面积1600${\rm m}^2$．
\end{solution}

\begin{example}
    窗的形状是矩形上
面加一个半圆，它的周长等于
6米，要使窗能透过最多的光
线，它的尺寸应该怎样设计？
\end{example}

\begin{solution}
设半圆的半径是$x$米（图5.16），那么半圆的长就是
$\pi x$米，矩形的底$BC$就是$2x$米，而矩形的高$AB$和$CD$就是
$\frac{6-\pi x-2x}{2}$米．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) rectangle (2,3) node [right]{$D$};
\node at (0,0)[below]{$B$};
\node at (2,0)[below]{$C$};
\node at (0,3)[left]{$A$};
\node at (1,3)[below]{$O$};
\draw (0,3) arc (180:0:1);
\draw[->] (1,3)--node[left]{$x$} +(60:1) ;
\draw [<->](0,.5)--node[fill=white]{$2x$}(2,.5);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

设图形的总面积是$y$平方米，那么在开区间$\left(0,\frac{6}{\pi+2}\right)$上，
\[y=\frac{6-\pi x-2x}{2}\cdot 2x+\frac{1}{2}\pi x^2\]
就是
\[\begin{split}
    y&=6x-\left(\frac{\pi}{2}+2\right)x^2\\
    &=-\frac{\pi+4}{2}\left[x^2-\frac{12}{\pi+4}x+\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2-\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2\right]\\
    &=-\frac{\pi+4}{2}\left(x-\frac{6}{\pi+4}\right)^2+\frac{18}{\pi+4}
\end{split}\]
由此可知，当$x=\frac{6}{\pi+4}$的时候，$y_{\max}=\frac{18}{\pi+4}$．

所以尺寸应该这样来设计：半圆的半径是$\frac{6}{\pi+4}\approx 0.84$米，或者说矩形的底边长是$\frac{12}{\pi+4}\approx 1.68$米时，窗能透过最
多的光线．
\end{solution}

\begin{example}
    用一块宽为1.2米的长方形铁板弯起两边做一个
水槽，水槽的横截面为底角是$120^{\circ}$的等腰梯形（图5.17），要
使水權的横截面积最大，它的侧面的宽应该是多少？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (120:2)--(0,0)node[below]{$B$}--(3,0)node[below]{$C$}--+(60:2);
\draw[dashed] (-1,1.732)node[left]{$A$}--(4,1.732)node[right]{$D$};
\draw [dashed](0,0)--(0,1.732)node[above]{$H$};
\draw (0,.7) arc (90:120:.7)node[above=6pt]{$30^{\circ}$};
\draw(2.5,0) arc (180:60:.5)node [left=6pt]{$120^{\circ}$};
\end{tikzpicture}   
    \caption{}
\end{figure}


\begin{solution}
    设侧的宽$AB$为$x$米，作$BH\bot AD$, 则
\[\angle ABH=30^{\circ},\qquad AH=x\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}x\]
\[BH=x\cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}x,\qquad BC=(1.2-2x)\]
\[AD=1.2-2x+2\cdot \frac{x}{2}=1.2-x\]
所以，水槽的横截面面积为：
\[\begin{split}
    S&=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x(1.2-2x+1.2-x)\\
    &=\frac{\sqrt{3}}{4}x(2.4-3x)\qquad (0<x<0.6)\\
    &=-\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2+\frac{3\sqrt{3}}{5}x=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(x^2-\frac{4}{5}x\right)\\
&=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(x^2-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}-\frac{4}{25}\right)\\
&=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(x-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{3\sqrt{3}}{25}
\end{split}\]
所以$x=\frac{2}{5}=0.4$（米）时，水槽有最大的横截面面积$\frac{3\sqrt{3}}{25}$（平方米）．
\end{solution}


\begin{example}
    快艇和轮船分别从$A$地和$C$地同时开出，各沿着
    箭头所指方向航行（图5.18），快艇和轮船的速度分别是40公
    里/小时和16公里/小时，已知$AC=145$公里，经过多少时间
    以后，快艇和轮船之间的距离最短（图中$AC\bot CD$）？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.9]
\draw (0,0)--(8,0)node[right]{$A$};
\draw[->, very thick] (0,0)--(0,-2)node[below]{$D$};
\draw[->, very thick] (8,0)--(3,0)node[above]{$B$};
\draw (0,-2)--(3,0);
\draw (3,0)--(3,-1); \draw (8,0)--(8,-1); 
\draw[<->] (3,-.5)--node[fill=white]{$40t$}(8,-.5);
\draw (-1,0)--(0,0); \draw (-1,-2)--(0,-2);
\draw[<->]  (-.5,0)--node[fill=white]{$16t$}(-.5,-2);
\node at (-.25,.25) {$C$};
\draw(0,0)--(0,1.2); \draw (8,0)--(8,1.2);
\draw[<->] (0,1) --node[fill=white]{$145$公里}  (8,1) ;

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
    设经过$t$小时以后，快艇的位置在$B$, 轮船的位置在
$D$. 这时
\[\begin{split}
  AB&=40t \text{（公里）}\\
CD&=16t \text{（公里）}\\
BC&=(145-40t) \text{（公里）}\\  
\end{split}\]
根据勾股定理得
\[BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(145-40t)^2+(16t)^2}\]
现在要使$BD$最短，因$(145-40t)^2+(16t)^2>0$

故只需使被开方数$(145-40t)^2+(16t)^2$有最小的值．

令 $y=(145-40t)^2+(16t)^2\qquad \left(0<t<3\frac{5}{8}\right)$
则有：$$y=1856t^2-11600t+21025$$
这个二次函数在
$t=\frac{11600}{3712}=3\frac{1}{8}$（小时）
的时候有极小值．所以，快艇和轮船分别从$A$地和$C$地开出
$3\frac{1}{8}$（小时）的时候，它们间的距离最短．
\end{solution}

有时要在闭区间$[a,b]$上讨论二次函数的最大值或最小
值，这时要把开区间$(a,b)$内的极值和两端点处的函数值作
比较，再确定出最大值或最小值．


\begin{example}    
设$0\le x\le 3$, 讨论$y=x^2-4x+5$的最大值和最小
值．
\end{example}

\begin{solution}    
$$y=(x-2)^2+1$$

当$x=2$时，$y_{\min}=1$；又当$x=0$时，$y=5$；当$x=3$时，$y=2$．

所以当$x=2$时，$y$取最小值
$y_{\min}=1$；当$x=0$时，$y$取最大值$y_{\max}=5$（图5.19）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=.8]
\draw[->] (-1,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1)--(0,6)node[right]{$y$};
\foreach \x in {1,2,3}
{
    \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
    \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x);
}
\draw(0,4)node[left]{$4$}--(.1,4);
\draw(0,5)node[left]{$5$}--(.1,5);

\draw [domain=0:3, samples=50, very thick]plot(\x, {(\x-2)*(\x-2)+1});
\draw[dashed] (2,-1)--(2,6);
\draw[dashed] (3,0)--(3,2)--(0,2);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}    

\section*{习题5.2}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题5.2}
\begin{enumerate}
    \item 求下列各函数的最大值和最小值，并且求这时的$x$的值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=x^2-6x+10$
    \item $y=3x^2+6x-2$
    \item $y=5-4x-x^2$
    \item $y=3+2x-2x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
    \item 求下列各函数的最大值和最小值：
\begin{enumerate}
    \item $y=2x^2+5x+4,\qquad    0\le x\le 1$
    \item $y=x^2-3x+4,\qquad      0\le x\le 1$
    \item $y=x^2-x+1,\qquad      0\le x\le 1$
\end{enumerate}
\item 求证在周长相同的所有矩形中，正方形面积是最大的．
\item 求证在一边长固定，且周长固定的所有三角形中，等腰
三角形面积是最大的．
\item 把宽40厘米的铁皮制成U字形的雨水槽，要使它的断面
积成为最大，深度应为多少？
\item 一农民准备用篱笆围成一面靠墙的矩形，养鸡场共分五
间，每间大小相等，现有可编120米长的篱笆竹料，养
鸡场每间的长宽各是多少米，养鸡场面积最大．
\item 炮弹以初速度$U_0=600$米/秒，仰角$\theta=30^{\circ}$射出时，上升
的高度$h$与相应的水平距离$x$之间的函数关系是：
\[h=-\frac{1}{54000}x^2+\frac{1}{\sqrt{3}}x\]
试求炮弹能达到的最大高度．
\item 设有边长为$a$的等边三角形，要作内接矩形（如图），问如
何作法使这矩形面积最大？
\item 在半径是20厘米的圆内作一内接矩形，这个矩形的面积
最大可以是多少平方厘米？
\item 给了一个正方形$ABCD$（如图）．由它的各顶点量下相等
的线段$Aa,Bb,Cc,Dd$, 并且以直线连结$a,b,c,d$各
点，问$Aa$多长时正方形$abcd$的面积最小？
\item 已知三角形的两边之和为4, 夹角是$60^{\circ}$, 求：最大
面积；最小周长．

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
    \draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--(0,0);
\draw[pattern=north east lines] (.5,0) rectangle (1.5,1.732/2);
\node at (1,-1){第8题};
\draw[|<->|](1-.25,1.732+.1)--node[fill=white]{$a$}(0-.25,0+.1);

\end{scope}    
\begin{scope}[xshift=5cm, yshift=1cm]
\draw (0,0) circle (1.5);
\draw (0,0)node[left]{$O$}--node[below]{20cm}(1.5,0)--(120:1.5)--(180:1.5)--(-60:1.5)--(1.5,0);
\node at (0,-2){第9题};
\end{scope}  
\begin{scope}[xshift=8cm]
    \draw (0,0)node[below]{$A$} rectangle(2.1,2.1)node[above]{$C$};
\node at (2.1,0)[below]{$B$}; 
\node at (0,2.1)[above]{$D$}; 

\node at (1.05,-1){第10题};

\draw (0.9,0)node[below]{$a$}--(2.1,.9)node[right]{$b$}--(1.2,2.1)node[above]{$c$}--(0,1.2)node[left]{$d$}--(.9,0); 
\end{scope}  
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{一元二次方程图象解法}
我们来观察二次函数$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$的图
象（图5.21），这条抛物线交$x$轴于两点：$A(-1,0)$, $B(3,0)$.

这就是说，当$x=-1$或$x=3$时，函数$y=x^2-2x-3$的
值是0, 换句话说，也就是$x=-1$和$x=3$是方程
$x^2-2x-3=0$
的两个根，这个例子告诉我们，二次方程
$ax^2+bx+c=0$
的求根问题可归结为二次函数$y=ax^2+bx+c$对于怎样的$x$取
值为零的问题，这样的$x$称作二次函数的零点，因此二次方程
$ax^2+bx+c=0$的（实）根就等同于二次函数$y=ax^2+bx+c$的零点，这样我们就可用图象来解二次方程，如

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
\draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-4.5)--(0,4)node[right]{$y$};
\foreach \x in {1,2,3,-1}
{
    \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
    \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x);
}       

\draw[dashed] (1,-4.5)--(1,4);
\draw [domain=-1.5:3.5, samples=100, very thick] plot(\x, {(\x-1)*(\x-1)-4});
\node at (1,-4)[below]{$(1,-4)$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
\draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-4)--(0,4)node[right]{$y$};
\foreach \x in {1,2,3,-1}
{
    \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
    \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x);
}          

\draw[dashed] (1,-4)--(1,4);
\draw [domain=-1.5:3.5, samples=100, very thick] plot(\x, {(\x-1)*(\x-1)-3});
\node at (.3,-.3){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}


\begin{example}
    用图象法解一元二次方程
$x^2-2x-2=0$．
\end{example}

\begin{solution}
    先作出函数$y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$的图象（图
5.21），从图中读出二次函数零点：$x_1\approx-0.7$; $x_2\approx 2.7$, 这
就是二次方程$x^2-2x-2=0$的两个近似实根．
\end{solution}

从函数图象的观点看来，二次函数$y=ax^2+bx+c$的零
点，就是它的图象与$x$轴的交点的横坐标，因此二次方程
$ax^2+bx+c=0$能否有实数解，或者有一个（实）重根，或者
有两个不同的（实）根，实际上就等于抛物线$y=ax^2+bx+c$是
否与$x$轴相交，或者与$x$轴相切于一点；或者与$x$轴相交于两
个不同的点（这两个点必对称地位于抛物线对称轴的左、右两
侧）．

当$a>0$时，抛物线$y=ax^2+bx+c$是开口向上的，并且
其顶点是它的最低点，因此二次方程$ax^2+bx+c=0$能否有
解，有一解或二解，完全取决于抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶
点位于$x$轴的上方，位于$x$轴上，或位于$x$轴的下方．

抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标是$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$
由于$a>0$, 因此抛物线的顶点位于$x$轴的上方，位于$x$轴上，
或者位于$x$轴的下方，分别取决于$b^2-4ac<0$, $b^2-4ac=0$,
或$b^2-4ac>0$ （图5.22），以前我们曾谈过：二次方程$ax^2+bx+c=0$能否有解，取决于判别式$b^2-4ac$的符号，现在我们又
可以看到，抛物线$y=ax^2+bx+c$能否与$x$轴有交点，也取决
于判别式$b^2-4ac$的符号．

当$a<0$时，情况与上面相同，我们留给同学去考虑．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
\begin{scope}
    \draw[->] (-1,0)--(5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-4)--(0,6)node[right]{$y$};
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8});
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8+2.5});
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8-3});
    \draw[dashed] (2.2,-4)--(2.2,6);
    \node at (-.3,-.3){$O$};
    \node at (2,-4.5){$a>0$};
\node at (3.2,-3)[right]{$b^2-4ac>0$};
\node at (3.2,1)[right]{$b^2-4ac=0$};
\node at (3.2,3.5)[right]{$b^2-4ac<0$};
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=8cm, yshift=2cm]
    \draw[->] (-1,0)--(5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-6)--(0,4)node[right]{$y$};
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {-(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8});
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {-(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8-2.5});
    \draw[domain=.2:4.2, samples=50, thick]plot(\x, {-(\x-2.2)*(\x-2.2)*.8+3});
    \draw[dashed] (2.2,-6)--(2.2,4);
    \node at (-.3,-.3){$O$};
    \node at (2,-6.5){$a<0$};
    \node at (3.2,-4.5)[right]{$b^2-4ac<0$};
    \node at (3.2,-.7)[right]{$b^2-4ac=0$};
    \node at (3.2,2.5)[right]{$b^2-4ac>0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

前面考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为二次函数$y=
ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点的横坐标，我们也可用另外一种观点来考虑．由于
$ax^2+bx+c=0$与$ax^2=-bx-c$
的解是一样的，故我们可以考虑抛物线
$y=ax^2$与直线$y=-bx-c$的交点．

为此，在同一坐标系里，把抛物线和直线画出来，如果直
线与抛物线有交点（至多两个）那么交点的横坐标就是二次方
程的根．这是因为，如果交点是$(x_1,y_1)$, 那么必有$y_1=ax_1^2$和
$y_1=-bx_1-c$, 从而有$ax_1^2=-bx_1-c$, 即$ax_1^2+bx_1+c=0$．
如果没有交点，则二次方程
没有解．当我们使用函数图象求解二次方程近似根时，
这种方法是比较方便的，因
为$y=ax^2$与$y=-bx-c$都比
较容易描绘，如果我们还是
以例5.19的二次方程$x^2-2x-2=0$为例，如图5.23，
求出近似根$x_1\approx -0.7$，$x_2\approx 2.7$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
\draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1)--(0,9)node[right]{$y$};
\foreach \x in {1}
{
    \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
    \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x);
}          

\draw [domain=-3:3, samples=100, very thick] plot(\x, {\x*\x});
\draw [domain=-1.5:3.5, samples=10, very thick] plot(\x, {2*\x+2});
\node at (-1.5,-1)[below]{$y=2x+2$};
\node at (-1.7,8){$y=x^2$};
\node at (2.7,7.4)[right]{$(2.7,7.4)$};
\node at (-.7,.6)[left]{$(-0.7,0.6)$};
\node at (.3,-.3){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item 先画出函数$y=x^2$的图象，然后利用这个图象解方程（精
确到0.1):
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $x^2-x-1=0$
    \item $2x^2-3x+6=0$
    \item $3x^2+5x-15=0$
    \item $5x^2-2x-10=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 解下列各一元二次方程，井说出与相应的函数图象之间
的关系：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $x^2-2x-3=0$
    \item $x^2-10x+21=0$
    \item $x^2-x-6=0$
    \item $x^2+7x+12=0$
    \item $2x^2-11x+15=0$
    \item $3x^2+5x-12=0$
    \item $6x^2-13x+6=0$
    \item $6x^2-7x-20=0$
    \item $x^2-4x=0$
    \item $(x-2)^2+2(x-2)-8=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}   
\end{enumerate}    
\end{ex}

\subsection{利用二次函数的图象解一元二次不等式}
我们在第三章中讨论了二次三项式$ax^2+bx+c$的值
的符号，现在有了二次函数的图象，就可以把一元二次不等
式的解的情况利用图象更直观地表示出来．

在解一元二次不等式时，只要看二次函数$y=ax^2+bx+
c$, 当$x$取何值时，抛物线上的点的纵坐标是正的或是负的就
可以了．解一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$(或$<0$)可按照
下列步骤：
\begin{enumerate}
    \item 先求判别式；
    \item 根据$a$及判别式的符号决定二次
函数图象形状（开口）与位置（这一步或画草图，或在头脑中
想象均可）；
\item 若$b^2-4ac\ge 0$, 则求出二次方程$ax^2+bx+
c=0$的根；
\item 根据图象决定二次不等式的解的范围．
\end{enumerate}




\begin{example}
    解不等式$x^2-2x-3>0$
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\Delta=b^-4ac=(-2)^2+12>0$．
    \item $a=1>0$, 图象开口向上与$x$轴有两个交点．
    \item $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
    
    $\therefore\quad x=-1,\; x=3$为$x^2-2x-3=0$的两根．

    \item $x^2-2x-3>0$的解集是：$\{x|x<-1\}\cup \{x|x\ge 3\}$．
\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{example}
解不等式$2x^2-4x+3<0$.
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\Delta=(-4^2)-4\x2\x3=16-24<0$．
    \item $a=2>0$, 图象开口向上且与轴无交点．
    \item 因此$2x^2-4x+3<0$的解集为$\emptyset$．
\end{enumerate} 
\end{solution}

\begin{example}
    求$k$值范围，使抛物线$y=(k-1)x^2-2(k+1)x-4+4k$在$x$轴下方与$x$轴没有交点．
\end{example}

\begin{solution}
    抛物线在$x$轴下方与$x$轴没有交点的充分必要条件是：
\[\begin{cases}
    k-1<0 \\ \Delta=4(k+1)^2-4(k-1)(4k-4)<0
\end{cases}\Rightarrow \quad \begin{cases}
    k-1<0 \\ 3k^2-10k+3>0
\end{cases}\]
解集：
\[\begin{split}
\left\{k|k<1,\; 3k^2-10k+3>0 \right\}&=\left\{k\Big|k<1,\; k<\frac{1}{3} \right\}\bigcup\{k|k<1,\; k>3 \}\\
&=\left\{k\Big|k<\frac{1}{3} \right\}\bigcup\emptyset\\
&=\left\{k\Big|k<\frac{1}{3} \right\}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    求$m$值的范围使方程
    $x^2+2(m-1)x+3m^2-11=0$
    有正实数根．
\end{example}

\begin{solution}
方程有实数根的充分必要条件是：
$\Delta=4(m-1)^2-4(3m^2-11)\ge 0$
即：
\begin{equation}
    m^2+m-6\le 0
\end{equation}
此两实数根同号，故在上述条件上还需添上条件
\begin{equation}
    x_1x_2=3m^2-11>0
\end{equation}
又二同号实根均为正实数，故又在条件(5.16)和(5.17)上还需添
上条件
\begin{equation}
    x_1+x_2=-2(m-1)>0
\end{equation}
因此原方程有正实数根的等价条件是：
\[\begin{cases}
    m^2+m-6\le 0\\
    3m^2-11>0\\
    -2(m-1)>0
\end{cases}\]
由(5.16)得：
$-3\le m\le 2$.

由(5.17)得：$m<-\sqrt{\frac{11}{3}}=-\frac{\sqrt{33}}{3}\approx -1.91$或$m>\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{\sqrt{33}}{3}\approx 1.91$

由(5.18)得：$m<1$．

因此，$m$的解集：
\[\begin{split}
   & \left\{m\Big|-3\le m\le 2,\; m<-\frac{\sqrt{33}}{3},\; m<1\right\}\\
   &\qquad \bigcup\left\{m\Big|-3\le m\le 2,\; m>\frac{\sqrt{33}}{3},\; m<1\right\}\\
    &=\left\{m\Big|-3\le m<-\frac{\sqrt{33}}{3}\right\}\bigcup \emptyset\\
    &=\left\{m\Big|-3\le m<-\frac{\sqrt{33}}{3}\right\}
\end{split}\]
故$m$的值在$-3\le m<-\frac{\sqrt{33}}{3}$
的范围内，可使方程$x^2+2(m-1)x+3m^2-11=0$有正实数根．
\end{solution}

\begin{example}
    求$p$的范围使方程
$(p-3)x^2-2px+6p=0$
有两符号相反实根，且最小实根大于$-3$．
\end{example}

\begin{solution}
    方程有两符号相反实根，即0在两根之间的充分必
要条件是$f(0)\cdot (p-3)<0$（图5.24）．
即
\begin{equation*}
    6p(p-3)<0
\end{equation*}
又$-3$小于最小实根，故需添上条件；
\[f(-2)(p-3)>0\]
即：$[9(p-3)+6p+6p](p-3)>0$．化简得$p<1\frac{2}{7}$
或$p>3$

因此原方程有两符号相反实根，且最小实根大于$-3$的等价
条件是：
\[\begin{cases}
    0<p<3\\
    p<1\frac{2}{7},\qquad \text{或}\qquad p>3
\end{cases}\]
所以$p$的解集：$\left\{p\Big|0<p<1\frac{2}{7}\right\}$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=.7]
\begin{scope}
\draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-3)--(0,5)node[right]{$y$};
\draw[domain=-1.5:3.5, samples=100, thick] plot(\x, {(\x-1)*(\x-1)*.8-1.5});
\node at (1.5,3.5){$p-3>0$};
\foreach \x/\xtext in {1.37+1/x_2, -1.37+1/x_1}
{
    \node at (\x-.2,0)[below] {$\xtext$};
}
\node at (.3,-.3){$O$};
\node at (0,-0.9)[left]{$f(0)$};
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=8cm, yshift=1cm]
    \draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-4)--(0,4)node[right]{$y$};
\draw[domain=-1.5:3.5, samples=100, thick] plot(\x, {-(\x-1)*(\x-1)*.8+1.5});
\node at (1.5,2){$p-3<0$};
\foreach \x/\xtext in {1.37+1/x_2, -1.37+1/x_1}
{
    \node at (\x-.2,0)[below] {$\xtext$};
}
\node at (.3,-.3){$O$};
\node at (0,0.7)[right]{$f(0)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $(3-4x)(2x-1)>0$
    \item $(x+1)^2+2<0$
    \item $(x+2)^2\ge 9$
    \item $12x-4x^2-9<0$
    \item $2x^2+5x-1>0$
    \item $x^2-3x+2>0$
    \item $2x^2-3x+1<0$
    \item $-x^2-x-1<0$
    \item $x^2-x+1<0$
    \item $1+x-x^2>0$
    \item $1-x+x^2>0$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 求$k$的范围使方程：
$kx^2+3kx+k-3=0$的两根都是负数．
\item $k$在什么范围，方程$3x^2-(k-4)x+3=0$的根是实数，
并确定这两根的符号．
\item $k$在什么范围，方程$(k+2)x^2-2kx-k=0$的两根符号
相反．
\end{enumerate}    
\end{ex}

\subsection{一元二次方程的判别式与求函数的极值}
利用一元二次方程的判别式，可以求一类函数的极值，我
们先说明如何应用判别式，求二次函数的极值，然后将此法
推广去求$y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x^2+b'x+c'}$
这一类函数的极值．

我们借助于函数的图象来说明这个方法，先作出
$y=ax^2+bx+c\; (a\ne 0)$的图象，然后用一族和$x$轴平行的直
线$y=d$去截割它（图5.25）．直线$y=d$和抛物线的交点满足方
程组：

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
    \draw[->] (-1.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};
    \draw [domain=-.8:2.8, samples=50, ultra thick] plot(\x, {1.3*(\x-1)*(\x-1)-2});
    \foreach \x in {-2,-1,1,2}
    {
        \draw (-1.2,\x)--(3.2,\x);
    }
    \node at (3,-1)[below]{$y=d$};
    \node at (0,-1)[below]{$M$}; 
    \node at (2,-1)[below]{$N$};
    \node at (.25,.25){$O$};
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=6.5cm]
    \draw[->] (-1.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};
    \draw [domain=-.8:2.8, samples=50, ultra thick] plot(\x, {-1.3*(\x-1)*(\x-1)+2});
    \foreach \x in {-2,-1,1,2}
    {
        \draw (-1.2,\x)--(3.2,\x);
    }
    \node at (3,1)[below]{$y=d$};
    \node at (0,1)[above]{$M$}; 
    \node at (2,1)[above]{$N$};\node at (.25,-.25){$O$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{numcases}{}
    y=ax^2+bx+c\\
y=d
\end{numcases}
将(5.20)代入(5.19)得到交点横坐标满足的方程：
\[ax^2+bx+(c-d)=0\]
为简单起见就写成：
\begin{equation}
    ax^2+bx+ (c-y)=0
\end{equation}
因为直线与抛物线相交，故方程(5.21)有实数解，也就是说它
的判别式：
\begin{equation}
    D=b^2-4a(c-y)\ge 0
\end{equation}

在$a>0$的情况下，让$y$的值越来越小，也就是说让直线
$y=d$平行$x$轴下降，这时两个交点$M,N$就越来越靠近，直
到这两个交点重合时为止，也就是说当直线$y=d$与抛物线切
于顶点时为止．(5.21)的判别式$D=b^2-4a(c-y)=0$, 就是函数
$y=ax^2+bx+c$的极小值所满足的条件，所以
$y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$．

在$a<0$的情况下，让直线$y=d$平行$x$轴上升，直到两交点重
合为止，同样(5.21)的判别式$D=b^2-4a(c-y)=0$是(5.19)的
极大值所满足的条件，所以$y_{\max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$．

为求极值点，我们应用根和系数的关系．
设$x_1,x_2$是方程(5.21)的两个实数根，于是$x_1+_2=-\frac{b}{a}$，
当$x_1=x_2$时，则$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$，
因此，极值点$x_0=-\frac{b}{2a}$．

通过上面的说明，可以知道(5.21)的判别式$D=0$是(5.19)
的极值的必要条件，剩下的问题是怎样辨认$D=0$的解是极
大值或是极小值．由于我们在前面已经知道了二次函数的极
值存在且唯一和二次函数的图象，所以根据$a$的符号就可
以确定$D=0$的解是极大值还是极小值．假如我们不知道
二次函数的性质和它的图象，那么我们用什么办法去辨认
呢？一个常用的方法就是在解方程$D=0$的同时还去 解不等
式$D>0$．使$D>0$成立的每个解$y$都使直线$y=d$和抛物线(5.19)
有两个交点，故这些交点的纵坐标可以由不等式：
\[D=b^2-4a(c-y)>0\]
解出．它的解：
\begin{itemize}
    \item 当$a>0$时，$y>\frac{4ac-b^2}{4a}$；
    \item 当$a<0$时，$y<\frac{4ac-b^2}{4a}$．
\end{itemize}

把$D=0$和$D>0$的解合取在一起得到$D\ge 0$的解：
\[y\ge \frac{4ac-b^2}{4a}\;\; (a>0)\qquad \text{或}\qquad y\le \frac{4ac-b^2}{4a}\;\; (a<0)\]
由上面第一个不等式知道，二次函数在极值点$x_0=-\frac{b}{2a}$
的邻近的函数值都比$\frac{4ac-b^2}{4a}$大，故
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
是(5.19)的极小值．
由第二个不等式知道，二次函数在极值点$x_0=-\frac{b}{2a}$的邻近
的函数值都比$\frac{4ac-b^2}{4a}$
小，故$\frac{4ac-b^2}{4a}$是(5.19)的极大值．

上面应用二次方程判别式，求二次函数的极值的方法，
也可以用来求$y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x^2+b'x+c'}$
这类函数的极值，下面通过例子来说明．





\begin{example}
    求$y=\frac{x^2+2x+4}{x}$
的极值．
\end{example}

\begin{solution}
    假设给$y$在函数
    \begin{equation}
        y=\frac{x^2+2x+4}{x}
    \end{equation}
    值域中的任何一个值，那么(5.23)中和$y$对应的$x$值是方程
    \begin{equation}
        x^2+(2-y)x+4=0
    \end{equation}
    的实数解．

    方程(5.24)的判别式是
    \begin{equation}
        D=(2-y)^2-16=(y+2)(y-6)
    \end{equation}

    由$D=0$得到(5.24)有重根的条件，也就是(5.23)的极值满
    足的条件，解得
 \[   y1=-2\qquad \text{或}\qquad y_2=6\]
    将$y_1=-2$代入(5.24), 得到对应于$-2$的$x$值
  \[  x_1=-\frac{4}{2}=-2\]
    将$y_2=6$代入(5.24)，得到对应于6的$x$值
    \[x_2=-\frac{2-6}{2}=2\]

    由$D>0$得到(5.24)有不同实根的条件，也就是说，它的解
    是在(5.23)的值域中，并且是在点$x_1=-2$, $x_2=2$附近的函数值．解得
  \[  y<-2\qquad \text{和}\qquad y>6\]
    由$y<-2$和$y>6$, 知道：
    $-2$是(5.23)的极大值，6是(5.23)的极小值（图5.26）．
\end{solution}


\begin{example}
    说明函数$y=\frac{2x}{1-x^2}$
没有极值．
\end{example}

\begin{solution}
假设给$y$在函数
\begin{equation}
    y=\frac{2x}{1-x^2}
\end{equation}
的值域中的一个值，那么(5.26)中和$y$对应的$x$值是方程
\begin{equation}
    yx^2+2x-y=0
\end{equation}
的实数解．

(5.27)的判别式是$D=4+4y^2$, 因为$D=0$没有实数解，
而$D>0$的解是一切实数，即$y\in\mathbb{R}$．

这就是说函数(5.26)的值域是一切实数．因此(5.26)没有
极值（图5.27）．
\end{solution}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.4]
     \draw[->] (-6,0)--(6,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-6.5)--(0,11.5)node[right]{$y$};   
    \draw [domain=-6:-.5, samples=50, ultra thick] plot(\x, {\x+4/\x+2});
    \draw [domain=.5:6, samples=50, ultra thick] plot(\x, {\x+4/\x+2});
    \draw [domain=-6:6, samples=5, dashed, thick] plot(\x, {\x+2});
    \foreach \x in {1}
    {
        \draw (\x,0)node[below]{\x}--(\x,.2);
        \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.2,\x); 
    }
    \node at (-.5,-.5){$O$};
\node at (2,6)[below]{$(2,6)$};
\node at (-2,-2)[above]{$(-2,-2)$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.55]
        \draw[->] (-5,0)--(5,0)node[right]{$x$};
      \draw[->] (0,-5)--(0,5)node[right]{$y$};  
      \foreach \x in {-1,1}
      {
          \node at (\x-.3,0)[below]{$\x$};
          \draw[dashed] (\x,-5)--(\x,5);
      }
      \draw [domain=-.8:.8, samples=50, ultra thick] plot(\x, {2*(\x/(1-\x*\x))});
      \draw [domain=-5:-1.25, samples=50, ultra thick] plot(\x, {2*(\x/(1-\x*\x))});
      \draw [domain=1.25:5, samples=50, ultra thick] plot(\x, {2*(\x/(1-\x*\x))});
    \node at (-.5,.5){$O$};
    

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 求下列函数的极值：
    \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=\frac{1}{1-x^{2}}$
    \item $y=\frac{2 x}{1+x^{2}}$
    \item $y=\frac{x^{2}-4 x+3}{x+1}$
    \item $y=\frac{x^{2}+3 x+5}{x^{2}+1}$
    \item $y=\frac{x^{2}-3 x+4}{x^{2}+3 x+4}$
    \item $y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$
    \item $y=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}$
    \item $y=\frac{x^{2}-2 x+4}{x^{2}+2 x+4}$
\end{enumerate}        
    \end{multicols}

\item 有一杠杆的支点在它的一端，而在距支点一米处挂一重
为490公斤的物体，同时加力于杆的它端，使杠杆保持水
平．若杠杆本身每米长的重量为5公斤，求最省力的杆
长（如图5.28）．
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\fill [pattern=north east lines] (-.5,-.25) rectangle(.5,0);
\draw (-.5,0)--(.5,0);
\draw (-.25,0)--(0,.5)--(.25,0);
\draw[thick] (0,.5)--(6,.5);
\draw[->, very thick] (6,.5)--(6,3)node[right]{$F$};
\draw[->, very thick](2.5,.5)--(2.5,-1.5)node[below]{$P$};
\draw [->, very thick] (3.5,.5)--(3.5,-2.4)node[right]{490公斤};
\draw (0,.5)--(0,1.5);
\draw  (3.5,.5)--(3.5,1.5);
\draw[<->](0,1)--node[fill=white]{1米}(3.5,1);
\draw [fill=black](2.5,.5) circle(1.5pt);
\draw [fill=black](3.5,.5) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\section{多项式函数的增减性}
\subsection{多项式函数的增减性}
我们已经在第四章中，给出了函数在某一区间上
是增函数和减函数的定义，在前面也讨论过一、二次函数的
增减性与极值．这就是：

一次函数$f(x)=kx+b$
\begin{itemize}
    \item 当$k>0$时，一次函数$f(x)=kx+b$在定义域$(-\infty,+\infty)$上递增；
\item 当$k<0$时，一次函数$f(x)=kx+b$在定义域$(-\infty,+\infty)$上递减．
\item 一次函数在定义域$(-\infty,+\infty)$上无极值．
\end{itemize}

二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$
\begin{itemize}
    \item 当$a>0$时，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$在
$\left(-\infty,-\frac{b}{2a}\right)$上递减，在$\left(-\frac{b}{2a},+\infty\right)$上递增，且当$x=-\frac{b}{2a}$
时，$y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$．
\item 当$a<0$时，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$\left(-\infty,-\frac{b}{2a}\right)$上递增，在$\left(-\frac{b}{2a},+\infty\right)$上递减，且当$x=-\frac{b}{2a}$
时，$y_{\max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$．
\end{itemize}


可是对于二次以上的多项式函数就不能象二次多项式那
样，利用配方和图象来研究它．在研究二次以上多项式函数
的时候，确定出函数的递增、递减变化的区间对作出函数的
图象，求出函数的极值都很重要，下面举一个例子来说明．

\begin{example}
证明函数$y=x^3-3x$在开区间$(-\infty),-1)$上递增；在开区间$(-1,+1)$上递减；
在开区间$(1,+\infty)$上递增；作出这个函数图象的草图．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 
设$x_1<x_2<-1$, 则$-x_1>-x_2>1$, 从而
$(-x_1)(-x_2)>1$,  即$x_1\cdot x_2>1$．
\begin{equation}
    \begin{split}
    f(x_2)-f(x_1)&=x_2^3-3x_2-(x_1^3-3x_1)\\
    &= x_2^3-x_1^3-3(x_2-x_1)\\
&=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2-3)\\
&>(x_2-x_1)(3x_2x_1-3)\\
&=3(x_2-x_1)(x_2x_1-1)
\end{split}
\end{equation}
$\because\quad x_2-x_1>0,\quad x_2x_1-1>0$

$\therefore\quad f(x_2)-f(x_1)>0$, 即$f(x)=x^3-3x$在$(-\infty,-1)$上递增．

\item 设$-1<x_1<x_2<1$, 当$-1<x_1<x_2<0$时，有
$1>-x_1>-x_2>0$,  从而$(-x_1)(-x_2)<1$, 即$x_1x_2<
1$；当$-1<x_1<0<x_2<1$时，有$x_1x_2<0<1$；$当0<x_1
<x_2<1$时，有$x_1x_2<1$, 无论哪种情形都有$x_1x_2<1$．因
此由(5.28)得到：$f(x_2)-f(x_1)<0$,即$f(x)=x^3-3x$在$(-1,1)$
上递减．

\item 设$1<x_1<x_2$, 则$x_1x_2>1$. 因此由(5.28)得
到：
$f(x_2)-f(x1)>0$, 即$f(x)=x^3-3x$在$(1,+\infty)$上
递增．
\end{enumerate}

这个函数的图象通过原点且关于原点对称，函数变化增、减情形如下表：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccc}
    \hline
    $x$    &&$-1$&& 0 && 1           \\
    \hline
    $f(x)=x^3-3x$& $\nearrow $&2&$\searrow $&0$\searrow $&$-2$&$\nearrow$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}
    
\end{solution}
    
草图如图5.29．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
        \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
      \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};  
      \foreach \x in {-1,1,-2,2}
      {
          \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
          \draw (0,\x)--(.1,\x)node[right]{$\x$};
      }
      \draw [domain=-2.1:2.1, samples=50, ultra thick] plot(\x, {\x*(\x*\x-3)});
    \node at (.25,.25){$O$};
    \end{tikzpicture}    
    \caption{}
\end{figure}

现在的问题是怎样找出一个多项式函数的递增区间和递
减区间？

我们的办法是考虑多项式函数在各点的变化趋向，也就
是考虑函数$f(x)$在$x=x_0$这一点有递增变化趋向，还是有递
减变化趋向？从图5.29可以直观地看出随着$x$值的增加，当
$x=2$时，$f(x)=x^3-3x$有递增变化趋向，当
$x=-\frac{1}{2}$时，
$f(x)=x^3-3x$有递减变化趋向；当$x=-1$时，函数由递增转
变到递减；当$x=1$时，函数由递减转变到递增，现在我们
来考虑如何给函数在某一点递增或递减的概念以明确的定
义，一个很自然的办法是让自变量从$x_0$点开始作很小的改变．
令$x-x_0=h$, 即$x=x_0+h$, 这里$h$可正、可负，但是它的绝
对值很小，我们把$h$叫做自变量的改变量，以$x=x_0+h$代入
$f(x)$, 得到自变量改变量的对应函数$f(x_0+h)$, 我们把差
$f(x_0+h)-f(x_0)$叫做函数$f(x)$在$x=x_0$这一点的改变量．


\begin{blk}{定义}
    如果存在一个充分小正数$\delta $, 使得在以$x_0$为中心的
开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$, 即在点$x_0$的邻域内，使得
\begin{enumerate}
    \item 对于一切点$x=x_0+h\; (-\delta<h<0)$和一切点$x'=
x_0+h'\; (0<h'<\delta)$, 有$$f(x_0+h)<f(x_0)<f(x_0+h')$$ 则称
函数$f(x)$在点$x_0$递增（图5.30），
\item 对于一切点$x=x_0+h\; (-\delta<h<0)$和一切点$x=x_0+
h'\; (0<h'<\delta)$, 有
$$f(x_0+h)>f(x_0)>f(x_0+h')$$
则称函数$f(x)$在点$x_0$递减（图5.31）．
\end{enumerate}
\end{blk}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2]
    \draw[->] (-.5,0)--(4,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-.5)--(0,4)node[right]{$y$};  
\draw [very thick](.5,1)to [bend right=-15](3.5,3.5)node[above]{$y=f(x)$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\draw[dashed] (.5,0)node[below]{$x_0-\delta$}--(.5,1);  
\draw[dashed] (3.5,0)node[below]{$x_0+\delta$}--(3.5,3.5);
\draw[dashed] (2,0)node[below]{$x_0$}--(2,2.55)node[left]{$f(x_0)$};

\draw[dashed] (1.3,0)node[below=8pt]{$x_0+h$}--(1.3,1.85)node[left]{$f(x_0+h)$};  
\draw[dashed] (2.5,0)node[below=8pt]{$x_0+h'$}--(2.5,2.95)node[above]{$f(x_0+h')$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2]
        \draw[->] (-.5,0)--(4,0)node[right]{$x$};
        \draw[->] (0,-.5)--(0,4)node[right]{$y$}  ;
\draw [very thick](.5,3.5)node[right]{$y=f(x)$} to [bend right=15](3.5,1);   
\node at (-.25,-.25){$O$};      
\draw[dashed] (.5,0)node[below]{$x_0-\delta$}--(.5,3.5);  \draw[dashed] (3.5,0)node[below]{$x_0+\delta$}--(3.5,1);
\draw[dashed] (2,0)node[below]{$x_0$}--(2,1.8)node[right]{$f(x_0)$};

\draw[dashed] (1.3,0)node[below=8pt]{$x_0+h$}--(1.3,2.5)node[right]{$f(x_0+h)$};  
\draw[dashed] (2.5,0)node[below=8pt]{$x_0+h'$}--(2.5,1.5)node[right]{$f(x_0+h')$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}




\begin{example}
    说明$f(x)=x^3-3x$在点$x_0=2$是递增．
\end{example}

\begin{solution}
    取一个充分小的$\delta>0$, 譬如$\delta=0.01$, 令$0<|h|<0.01$，即$-0.01<h<0.01,\; h\ne 0$．

    函数在点$x=2$的改变量是$f(2+h)-f(2)$,
\[\begin{split}
    f(2+h)&=(2 +h)^3-3(2+h)\\
  &  =8+12h+6h^2+h^3-6-3h\\
   & =2+9h+6h+h^3
\end{split} \]   
    又
  $  f(2)=2^3-3\x(2)=2$，


$\therefore\quad f(2+h)-f(2)=9h+6h^2+h^3$

    当$x=2+h$在点2的左边，且$-0.01<h<0$时，我们
    来确定$f(2+h)-f(2)$的符号，暂取$h=-0.009$, 于是
\[\begin{split}
      f(2-0.009)-f(2)&=9(-9\x10^{-3})+6(-9\x10^{-3})^2+(-9\x10^{-3})^3\\
 &   =-0.0081+0.00000486-0.00000000729  
\end{split}\]
    我们看到这个算式的后面两项的和的绝对值，比第一项的绝
    对值小得多，所以略去后面两项，不会改变结果的符号．因
    此，只要$\delta$充分小，$f(2+h)-f(2)$的符号，完全可以由$h$
    的一次幂项的符号决定，这就是说当$-0.01<h<0$时，$f(2+h)-f(2)>0$．

    当$x=2+h$在点2的右边且$0<h<0.01$时，我们来确
    定$f(2+h)-f(2)$的符号，暂取$h=0.0001$, 于是
\[\begin{split}
    f(2+0.0001)-f(2)&=9(10^{-4})+6(10^{-4})^2+(10^{-4})^3\\
  &  =0.0009+0.00000006+0.000000000001
\end{split}\]
    我们看到只要$h$是一个微小的数量，那么$h^2$, $h^3$就是更小，
    更更小的量，略去含$h^2$和$h^3$的项，不影响$f(2+h)-f(2)$的
    符号，这也就是说只要充分小，那么$f(2+h)-f(2)$的符
    号与它的按$h$升幂展开式中的$h$的一次项的符号一致，所以当
    $0<h<0.01$时，$f(2+h)-f(2)>0$．

    根据上面的定义，我们说$f(x)=x^3-3x$在点$x_0=2$是递
增的．
\end{solution}

让我们来找出一般的三次多项式函数$f(x)=a_3x^3+a_2x^2
+a_1x+a_0$, 在点$x=x_0$的递增性或递减性的判别方法．

取充分小的$\delta>0$, $f(x)=a_3x^3+a_2x^2
+a_1x+a_0$, 在点
$x=x_0$的邻近一点$x=x_0+h$ (这里$|h|<\delta$)的函数值$f(x_0+h)$, 
按$h$的升幂展开得到
\[\begin{split}
    f(x_0+h) &= a_3 (x_0 +h)^3 +a_2(x_0 +h)^2 + a_3 (x_0 +h) + a_0\\
&=a_3x_0^3+3a_3x_0^2h+3a_3x_0h^2+a_3h^3+a_2x_0^2+2a_2x_0h\\
&\qquad +a_2h^2+a_1x_0+a_1h+a_0\\
&=f(x_0)+(3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1)h+(3a_3x_0+
a_2)h^2+a_3h^3
\end{split}\]

在$x_0$处的函数改变量：
\[f(x_0+h)-f(x_0)=(3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1)h+(3a_3x_0+
a_2)h^2+a_3h^3\]
因为当$\delta$充分小时，在$3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1\ne 0$的场合，$f(x_0+h)-f(x_0)$的符号与$h$的一次幂项即$(3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1)h$的符
$f(x_0+h)-f(x_0)$
的符号与$h$的系数$3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1$的符号一致．这样
\begin{itemize}
    \item 如果
    \begin{equation}
        3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1>0
    \end{equation}
    则$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>0$，即：当$h<0$时，由$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>0$，得到$f(x_0+h)-f(x_0)<0$；当$h>0$时，由$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>0$，得到$f(x_0+h)-f(x_0)>0$．因此条件(5.29)表明$f(x)$在点$x=x_0$递增．
    \item 如果
    \begin{equation}
        3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1<0
    \end{equation}
    则$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}<0$，即：当$h<0$时，$f(x_0+h)-f(x_0)>0$；当$h>0$时，$f(x_0+h)-f(x_0)<0$．因此条件(5.30)表明$f(x)$在点$x=x_0$递减．
\end{itemize}

数$3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1$可以看作多项式$f'(x)=3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1$在$x=x_0$的值．而多项式$f'(x)=3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1$称为原来多项式函数的导出函数，
    它的二次项系数等于原来多项式的三次项系数与3的乘积，
    它的一次项系数等于原来多项式二次项的系数与2的乘积，它
    的常数项等于原来多项式一次项的系数．

    将上面讨论的结果总结成下面的定理：

\begin{blk}{定理}
    如果$f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$的导函数$f'(x)=3a_3x_0^2+2a_2x_0+a_1$在$x=x_0$的值$f'(x_0)>0$, 则$f(x)$在点$x=x_0$递
增；如果$f(x)$在$x=x_0$的值$f'(x_0)<0$, 则$f(x)$在点$x=x_0$递
减．
\end{blk}

$f'(x_0)$也简称为$f(x)$在$x=x_0$的导数．

\begin{blk}{推论}
    如果三次多项式$f(x)$的导函数$f'(x)$, 在区间$(a,
b)$内各点有$f'(x)>0$成立，那么$f(x)$在区间$(a,b)$上递增．

如果$f'(x)$在区间$(c,d)$内各点有$f'(x)<0$成立，那么
$f(x)$在区间$(c,d)$上递减．（定理和推论的严格证明在第六册）
\end{blk}
 
虽然我们在上面仅讨论了三次多项式函数，其实$n$次多
项式函数也有类似上面的定理与推论．





\begin{example}
  确定$f(x)=x^3-3x$的递增区间和递减区间．  
\end{example}

\begin{solution}
$f(x)=x^3-3x$的导函数是$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-
1)$. 它的两个零点是$-1$和1．

因为，当$x<-1$或$x>1$时，$f'(x)=3(x-1)>0$, 所以
$f(x)=x^3-3x$在区间$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上递增．

因为，当$-1<x<1$时，$f'(x)=3(x-1)<0$, 所以
$f(x)=x^3-3x$在区间$(-1,1)$上递减．
\end{solution}

\begin{rmk}
在$x=1$或$x=-1$这两个点，函数既不是递增也
不是递减．
\end{rmk}

\begin{example}
    确定$f(x)=(x-1)^2(x-2)$的递增区间和递减
区间，并画出这个函数图象的草图．
\end{example}

\begin{solution}
\[f(x)=(x-1)^2(x-2)=x^3-4x^2+5x-2\]
导函数$f'(x)=3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)$

\begin{itemize}
    \item 当$x<1$或$x>\frac{5}{3}$时，$f'(x)>0$, 所以$f(x)$在区间$(-\infty,1)$和$\left(\frac{5}{3},+\infty\right)$上递增；
    \item 当$1<x<\frac{5}{3}$时，$f'(x)<0$, 所以$f(x)$在区间$\left(1,\frac{5}{3}\right)$上递减．
\end{itemize}

又$x$轴与$y=(x-1)^2(x-2)$的图象交于一个二重点$(1,
0)$和点$(2,0)$, 由此知道函数的图象与$x$轴切于$(1,0)$点．
把$f(x)=(x-1)^2(x-2)$的递增变化和递减变化的情
形列成下面的表，就更加醒目．

\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccc}
    \hline
$x$&&1&&$\tfrac{5}{3}$&&2\\
    \hline
$f'(x)=(3x-5)(x-1)$&&0&&0&&1\\
$f(x)=(x-1)^2(x-2)$&$\nearrow$&0&$\searrow$&$-\tfrac{4}{27}$&$\nearrow$&0&$\nearrow$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}
图象的草图如图5.32．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-.5,0)--(3,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,4)node[right]{$y$}  ;
\node at (-.25,-.25){$O$};
\foreach \x in {1,2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}

\draw[domain=-.2:2.9, samples=100, very thick] plot(\x, {(\x-1)*(\x-1)*(\x-2)});

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}


\begin{ex}
    确定下面函数的递增区间和递减区间，井画出函数图象
    的草图：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $f(x)=3x+1$
    \item $g(x)=-4x+2$
    \item $f(x)=-(x-1)^2+1$
    \item $y=x^3-3x^2+7$
    \item $f(x)=x^3-5x^2+3x-5$
    \item $f(x)=x^4-2x^2+5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ex}

\subsection{高次多项式函数的极值}

\begin{blk}{定义}
   如果对于$x_0$附近的任何$x$, 即如果存在$\delta>0$, 当
$|x-x_0|<\delta$时，都有
\[f(x)\le f(x_0)\qquad (f(x)\ge f(x_0))\]
则称函数$f(x)$在$x_0$点达到相对极大值（相对极小值）．简称极
大值（极小值），而称$x_0$为极大值点（极小值点）．

极大值点和极小值点统称为\textbf{极值点}．
\end{blk}

下面考虑，随着$x$值的增加，$f'(x)$在点$x=a$处由正变
负，或者在点$x=b$处由负变正时，那么函数$f(x)$的变化状态
是怎样的？

在$x$值的增加过程中，如果在点$x=a$处，导函数$f'(x)$由
正变负，于是函数$f(x)$在这一点便由递增变为递减，就图象
来看，当$x=a$时，图象上的对应点比这点附近图象上的点都高
（图5.33的$A$点），换言之，对于$x=a$附近的任何$x$都有$f(x)\le 
f(a)$, 因此$f(a)$是极大值．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-1.5,0)--(5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-1)--(0,4)node[right]{$y$}  ;
   
    \node at (-.25,-.25){$O$};
    \draw [domain=-1:4.6, samples=100, very thick] plot(\x, {sin(1.5*\x r)+1.5});
\draw[dashed] (pi/3,0)node[below]{$a$}--(pi/3,2.5)node[above]{$A$} ; 
\draw [dashed] (pi,0)node[below]{$b$}--(pi,.5) node[above]{$B$} ; 
    \end{tikzpicture}

    \caption{}
\end{figure}

又在$x=b$点处，如果导函数由负变正，则函数$f(x)$由递
减变为递增，就图象看，当$x=b$时，图象上的对应点比这点
附近图象上的点都低（图5.33的$B$点），换言之，对于$x=b$附
近的任何$x$都有$f(x)\ge f(b)$, 因此$f(b)$是极小值．

如果函数$f(x)$的导函数$f'(x)$随着$x$的值连续地增加而连
续地变化，也就是说$f'(x)$的图象是一条连续的曲线，那么
$f'(x)$在$x=a$, 由正变负必经过0, $f'(x)$在$x=b$由负变正也
必经过0, 这就是说，如果$y=f'(x)$是一条连续的曲线，那
么$f'(a)=0$, $f'(b)=0$是极值点的必要条件．必须注意在
求函数$f(x)$的极值点时，可以令$f'(x)=0$求出方程的解，但
不能认为$f'(x)=0$的解一定是极值点．例如$f(x)=x^3$的导函
数是$f'(x)=3x^2$, 而$f'(x)=3x^2=0$的根是一个二重根零，
但当$x\ne 0$时，$f(x)=3x^2>0$, 即导函数$f'(x)=3x^2$在
$x=0$这一点处不由正变负，因此这个函数没有极值．函数
$f(x)=x$在整个实数范围内是递增的，只不过在$x=0$这一
点函数变化暂时处于平稳状态，它的图象如图5.34．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
    \draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5)node[right]{$y$}  ;    
    \node at (.25,-.25){$O$};
    \draw [domain=-1.3:1.3, samples=20, very thick]plot(\x,{\x*\x*\x});
    \node at (1,1)[right]{$y=x^3$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
        \draw[->] (-1,0)--(4.5,0)node[right]{$x$};
        \draw[->] (0,-1)--(0,4.5)node[right]{$y$}  ;
        \node at (-.25,-.25){$O$};
\foreach \x/\y in {.5/1,1.5/3.5,2.5/1.7,3.4/2.8}
{
    \draw[dashed] (\x,0)--(\x,\y)--(0,\y);
    \draw (\x,\y)[fill=black] circle(1.5pt);
}

\draw plot[smooth, very thick] coordinates{(.5,1) (1.5,3.5) (2.5,1.7) (3.4,2.8)};

\foreach \x\xtext in {.5/a,1.5/b,2.5/c,3.4/d}
{
    \node at (\x, 0) [below]{$\xtext$};
}

\foreach \ytext\y in {f(a)/1,f(b)/3.5,f(c)/1.7,f(d)/2.8}
{
    \node at (0,\y) [left]{$\ytext$};
}

\foreach \x/\xtext in {{1.5,3.5}/B, {3.4,2.8}/D}
{
    \node at (\x) [above]{$\xtext$};
}
\foreach \x/\xtext in {{.5,1}/A, {2.5,1.7}/C}
{
    \node at (\x) [right]{$\xtext$};
}

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

我们在第五章中已经说过极大值、极小值和最大值、
最小值是不同的概念．如果函数只有一个极大值或只有一个
极小值时，那么最大值与极大值，最小值与极小值必定一致．
二次函数可作为这方面例子，如果我们在闭区间$[a,d]\; (a\le 
x\le d)$上来求函数$f(x)$的最大值和最小值时，如图5.35所示，
$f(x)$的极大值是$f(b)$, 也是最大值，$f(x)$的极小值是$f(c)$, 但
不是最小值，$f(x)$的最小值是$f(a)$. 从这里立即可以看出最大
值、最小值一定出现在端点上，或极值点上．因此要寻求最大
值（最小值），只需要把$(a,d)$内一切极大值（极小值）和两端
点处的函数值都求出来比较就可以了．

\begin{example}
    求二次多项式函数$f(x)=ax^2+bx+c\; (a\ne 0)$的
    极值．  
\end{example}

\begin{solution}
取充分小的正数$\delta$, 对应于$x'=x+h$, $|h|<\delta$的函
数值：
\[f(x+h)=f(x)+(2ax+b)h+ah^2\]
量$x$得到改变量$h$之后，函数改变量为：
\[f(x+h)-f(x)=(2ax+b)h+ah^2\]
所以$f(x)$的导函数是：
\[f'(x)=2ax+b\]
它的零点是：$x=-\frac{b}{2a}$．

依$a$的符号不同，$f'(x)=2ax+b$的符号有两种不同情
形：

\textbf{情形I：$a>0$}
\begin{itemize}
    \item 当$x<-\frac{b}{2a}$时，$f'(x)=2ax+b<0$, 这时$f(x)$在区间$\left(-\infty,-\frac{b}{2a}\right)$内是递减的；
    \item 当$x>-\frac{b}{2a}$时，$f'(x)=2ax+b>0$, 这时$f(x)$在区间$\left(-\frac{b}{2a},+\infty\right)$内是递增的．
\end{itemize}

所以，$x=-\frac{b}{2a}$是极小值点，$f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a}$是极小值也是最小值．

\textbf{情形II：$a<0$}
\begin{itemize}
    \item 当$x<-\frac{b}{2a}$时，$f'(x)=2ax+b>0$, 这时$f(x)$在区间$\left(-\infty,-\frac{b}{2a}\right)$内是递增的；
    \item 当$x>-\frac{b}{2a}$时，$f'(x)=2ax+b<0$, 这时$f(x)$在区间$\left(-\frac{b}{2a},+\infty\right)$内是递减的．
\end{itemize}

所以，$x=-\frac{b}{2a}$是极大值点，$f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a}$是极大值也是最大值．
\end{solution}


\begin{example}
将各边为$a$的正方形
铁皮，于各角截去相等的小正方
块，然后折起各边，要做成体积
最大的无盖箱，问所截去的小正
方形的边长应该是多少？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw[dashed] (.5,.5) rectangle (3.5,3.5);
\draw (0,0) rectangle (.5,.5);
\draw (3.5,3.5) rectangle (4,4);
\draw (0,3.5) rectangle (.5,4);
\draw (3.5,0) rectangle (4,.5);
\draw (0,-.5)--(0,0);
\draw (4,0)--(4,-.5);
\draw[<->] (0,-.3)--node[fill=white]{$a$}(4,-.3);
\draw[<->] (.5,3.75)--node[fill=white]{$a-2x$}(3.5,3.75);        
\draw (0,4)--(0,4.5);
\draw (0.5,4)--(.5,4.5);
\draw [<->](0,4.2)--node[above]{$x$}(.5,4.2);

    \end{tikzpicture}

    \caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
令$x$为小正方形的边长，
则正方形箱底边长为$a-2x$（图5.36），其体积为：
\[V(x)=(a-2x)^2x\]
$x$的变化区间是$\left(0,\frac{a}{2}\right)$．于是问题成为求这函数在这区间内的最大值．   
\[V(x)=4x^3-4ax^2+a^2x\]
它的导函数是
\[V'(x)=12x^2-8ax+a^2\]
导函数的根是：
$x_1=\frac{a}{6},\qquad x_2=\frac{a}{2}$

\begin{itemize}
    \item 当$x<\frac{a}{6}$或$x>\frac{a}{2}$时，$V'(x)>0$；
    \item 当$\frac{a}{6}<x<\frac{a}{2}$时，$V'(x)<0$．
\end{itemize}
$V(x)$的变化情形如下表所示：
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|ccc}
\hline
$x$ & $0<x<\tfrac{a}{6}$&$\tfrac{a}{6}$& $\tfrac{a}{6}<x<\tfrac{a}{2}$\\
\hline
$V'(x)=12x^2-8ax+a^2$ & $+$ &0 &$-$\\
$V(x)=(a-2x)^2x$ &  $\searrow$& $\tfrac{2}{27}a^3$& $\searrow$\\
\hline
    \end{tabular}
\end{center}
$\therefore\quad x=\frac{a}{6}$是一个极大点，极大值
\[V\left(\frac{a}{6}\right)=\frac{2}{27}a^3\]

因为在区间$\left(0,\frac{a}{2}\right)$内，极大值
$V\left(\frac{a}{6}\right)=\frac{2}{27}a^3$, 就是所求
最大体积．所以截去的正方形的边，等于所给正方形边长的
六分之一．
\end{solution}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 证明函数$y=x^3+x$处处递增．
    \item 求下面函数的极大值和极小值：
\begin{enumerate}
    \item $y=2x^3-9x^2+12x+5$
    \item $y=4x^3-6x^2-9x+1$
\end{enumerate}
    \item 求内接于半径为$R$的球中的直圆柱的最大体积．
    \item 某自来水厂设计一座圆柱形自来水塔，它的全面积合计
    为$150\pi$平方米，要使这座水塔有最大的容量，应该怎样
    定出水塔的高和底面圆的半径，才能达到最大容量的要
    求，并算出水塔的容量．
\end{enumerate}
\end{ex}

\section*{复习题五}
\addcontentsline{toc}{section}{复习题五}
\begin{enumerate}
    \item 指出下列函数图象的顶点，对称轴和开口方向：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=2x^2-16x+32$
    \item $y=4x^2+12x-7$
    \item $y=-2x^2-4x+6$
    \item $y=1+4x-x^2$
    \item $y=(1-x)^2+2$
    \item $y=2(x-2)(x+3)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
   \item  已知下列函数：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $y=x^2+4x-5$
\item $y=x^2-4x+1$
\item $y=6-4x-2x^2$
\item $y=-\frac{1}{4}x^2+x-1$
\item $y=(x-2)(x-3)$
\item $y=(2x+1)(3-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
   问： \begin{enumerate}
       \item $x$取什么值时，$y=0$? $y>0$? $y<0$?
       \item 当$x$取什么值时，函数是增函数，减函数，并求出
   极值点和极值．
   \item 画出它们的图象．
   \end{enumerate}
\item 把24, 27, 34, 37各分成两个正整数，使它们的乘积最
大．
\item 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{2}x-6$, 当$x$的取值在什么范围
内，位于直线$y=\frac{1}{2}x$的下方．
\item 平移抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$, 使顶点到$P(t,t^2)$点，并通过$A(2,
4)$点，求平移后的抛物线方程．


\item 求函数$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}}$的定义域和值域．

\item 通过作函数$y=|x^2+2x-3|$的图象，写出函数的递增
区间和递减区间，并给出函数的极值点和极值．
\item 按照自变量$x$可取值的范围，画出函数$y=\sqrt{-x^2+3x-2}$
的图象，并求最大值和最小值．
\item 已知二次函数$y=x^2+px+q$的图象和$x$轴交于$(1,0)$和
$(-6,0)$两点，求$p,q$的值．
\item 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$, 按照下面的条件确定$a,
b,c$的值．
\begin{enumerate}
\item $x=6$时，$y=0$; $x=4$时，函数有极小值$-8$；
\item $x=\frac{1}{2}$时，函数有极大值25; $x=0$时，$y=24$；
\item 顶点是$(6,-12)$, 开口向上，且和$x$轴的一个交点是
$(8,0)$；
\item 顶点是$(2,-7)$, 开口向下，且和$y$轴有一个交点
$(0,-15)$．
\end{enumerate}

\item  $m$为何值使二次方程$x^2+(m-2)x-(m+3)=0$的二
根平方和有最小值．
\item 求$m$的范围，使方程$x^2+(m-2)x-(m+3)=0$的二根
都是正数．
\item  求$p$的范围，使方程$px^2-x+p=0$的一个根在区间$(0,1)$
内，又它的另一个根在什么范围内．
\item 用一根长为6米的木料，做一个分成上下两部分的矩形
窗框（如图），问窗的宽和高各取多
少米时，才能使通过窗的光线最多．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (3,4);
\draw (0,0) rectangle (3,3.2);        
    \end{tikzpicture}
    \caption{第14题}
\end{figure}

\item 扇形的周长为4厘米，问这扇形
所在圆的半径$r$为多少时，扇形面积最大．
\item 将长为$\ell$的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2:1的矩形，问面积
之和的最小值是多少？
\item 在半径为$R$的半圆中，作一个内接等腰梯形，使它的
一个底边是半圆的直径，问其它三边为何值时等腰梯形
周长最大．
\item 求顶点在原点、对称轴为$y$轴的抛物线，使它和直线
$x+y=1$在第一象限的交点的坐标的乘积最大．
\item 抛物线$y=4-x^2$和直线$y=3x$相 交于点$A,B$,且使
$\triangle PAB$的面积为最大时，点$P$的坐标是$(p,q)$, 求$p$的值和
最大面积．
\item 求下列函数的极大值或极小值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $y=\frac{1}{x^2+6x+11}$
    \item $y=\frac{1}{-2x^2+8x-9}$
    \item $y=\frac{x^2}{x^2-2x-3}$
    \item $y=\frac{4x}{x-2}+\frac{x}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 在闭区间$[-2,3]$上，求下列各函数的最大值和最小
值．
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $f(x)=x^3-3x+1$
        \item $f(x)=-x^3+3x^2+2$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{enumerate}